ds^ läßt sich bezüglich du und dv in zwei lineare Faktoren spalten, nämlich 



ds°- =^-ledu + {f+i\/'^i^fjdv'] ■ [edu+ if—iV7^t^)dv']. 



Die beiden Integrale der Gleichung ds- = werden also die Form haben 



(p + iq = const. 1. Klammer = gesetzt 



\p — 22 = const. 2. Klammer =0 gesetzt. 



Analog folgt für dS'- = 



( P + iQ = const. 



\ P — iQ = const. 



p-\-iq = const. und p—i(l = const. sind Mininialkurven der 1. Fläche 1 



-P + *ö = const. und P — i^ = const. sind Minimalkurven der 2. Fläche | 



falls nun die Minimalkurven der 1. Fläche in die der 2. Fläche übergehen sollen, so muß für: 



p -\- i ([ = consi. und p — ig' = const. 

 auch P + i§ = const. und P — i^ = const. 



werden, das heißt aber: 



a) P+lQ=f(j, + iq) und P -iQ = f^ij} - iq) 



ß) P+iQ = f(p~iq) und P-iQ = f\{p+iqy, 



f und /", bedeuten dabei an sich vollständig beliebige Funktionen, die sich aber untereinander 

 nur durch das Vorzeichen von i unterscheiden. 

 Es ist also 



P= reeller Teil einer willkürlichen Funktion /"(i' + i^), 



Q= imaginärer Teil einer willkürlichen Funktion f{p-\-i(i)- 



Im FaU ß) wäre P ebenfalls dem reellen Teil dieser Funktion gleich, dagegen — Q 

 dem imaginären; da jedoch die Funktion f willkürlich ist, so hat diese Vorzeichendiiferenz 

 keine weitere Bedeutung. Es gilt also der für die konforme Abbildtmg einer Fläche auf 

 eine zweite grundlegende Satz: 



„Die Bedingungen der Konformität sind erfüllt, sobald P dem reellen, Q dem ima- 

 ginären Teil einer ganz beliebigen Funktion f{p~\-iq) gleichgesetzt wird." 



Durch Elimination kann dann U und V als Funktion von u und v gewonnen werden. 



Das Vergrösserungsverhältnis. 



Die Proportion (1) kann man schreiben: 



E = m^e 



F = m^f 



Cr = m^g, 

 daraus folgt 



_. dS 



ds 



