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Kommt nur eine Zone der Erdoberfläche in Betracht, so wird man f{p-\-ig) nicht = p -\- iq^, 

 sondern etwa f{p-\-i(l)= lineare Funktion von (^ + ig) setzen, z. B. mit Gauß"^): 



f{P + il) = a(j) + iq) — ilgk. 



Das konstante Glied in dieser linearen Funktion ist imaginär gewäblt, weil eine reelle 

 Konstante nur eine Verschiebung des Anfangspunktes für die Längen bedeuten würde ^). 

 Man hat dann außer dem Kugelradius noch die beiden Konstanten Ä und a zur Verfüo'unar 

 und kann dadurch das Vergrößerungsverhältnis m innerhalb des betrachteten Gebiets außer- 

 ordentlich nahe an die Einheit heranbringen.') 



Für uns sind die Gleichungen (4) die Grundgleichungen, auf die sich alles Folgende 

 stützt: die geographischen Längen auf Kugel und EUipsoid sind einander gleich; jeder 

 Meridian des Ellipsoids geht in einen Meridian der Kugel über, ebenso Äquator in Äquator. 



§ 2. 

 Spezielles über das Vergrösserungsyerliältuis und die auftretenden Verzerrungen. 



Wir hatten bei Berechnung der Abbildungsgleichungen (4) erhalten: 

 n = a-cos^ß N^R''cos^0; 



ferner hatten wir /'(/> + i"?) = »+ if? gesetzt, so daß i-^, -. — i=l wird. Also ist 



" I d(p -\- iq 



nach (3) 



t,. iJcos^ Rcos0^r-, „ ■ „ 



5) m = — = 1/ 1 — e^ sm^ m . 



a cos ß a cos 99 



Da nach (4) $ eine Funktion von (p allein (nicht aber von 2) ist, so ist auch m 

 unabhängig von l (resp. L) und Funktion von 93 (resp. <P) allein. 



Die Abbildung ist um so brauchbarer, je weniger sich ni von der Einheit unter- 

 scheidet. Es ist daher von Interesse, die Extremwerte von m aufzusuchen. Durch loga- 

 rithmisches Differenzieren erhält man aus (5): 

 ^ 7 1 , ^7^ , , 7 e^ sin 05 cos 09 , 



und aus (4) 



rf(P d(p e- cos cpdq) 



ß) 

 6) 



COS0 cos 9? 1 — e^sin^g?' 

 Daraus folgt 



fZlgm sin 99 — sin0 



d<P COS0 



Ein Extremwert von m tritt also dort ein, wo 99 = <P wird. Das ist aber nach (4) 

 den nur an Stellen 99 = — - {n positive oder negative ganze Zahl) der Fall. Deutet man 

 nämlich in (4 b) cp und ^ als rechtwinklige Koordinaten, so erhält man ungefähr neben- 



*) Gauß, „Allgemeine Auflösung etc.", Ziff. 13; s. Vorwort. 



