18 



oder nach Potenzen von y entwickelt: 



14 a) sin (P = [ — cosX^sina;] -1- [jr'sinXJ + 



weiter ist 



cos y cos Xq cos x 1 



cos Xp sin x + ;?/ " sin Xg 



^) 



3x 



cos<P 



y cosXflCosa;- 



■ ^ cosXg cos:r j + e^ 



«) 



COS<P\ 



3^ cosysinX„ + sinycosXnSina; 



9y "~ 



COS0 



y 



sin A"o + i/'cosXgsina; + y" cosA'gsina; — — sin A'^ 1 + 



Beide Ausdrücke sind nur bis auf Glieder e* berechnet, da ia - ° - und —J^- noch 



■' dx dy 



den Faktor — 7^:^ enthalten, der seinerseits klein ist wie e^. 

 d<P 



Die Differentialgleichung (13 a) zeigt, daß bei Beschränkung auf Glieder e^ 



bis auf Glieder e^. dagegen — "- - nur bis auf Glieder e* gebraucht wird. 



dy ■ ° ° dx ^ 



Unter Berücksichtigung von (a), (ß), (d), (e) und von Gleichung (9) erhält man : 

 cosA^nCosa;' 



3 lg«? 

 dx 



dlgm 

 dy 



(p' 



COS0 



+ 



.,„ cosX,cosa;sin0 .„ cosX,cosx 



2 cos- 



$' 



sin ATf, 



COS0 



+ 



C!>'y- 



COS0 



sinATn 



+ e'= 



co^A^sin^ /^„_;^^^^ 



COS (Z> V 2 ° 7 cos <Z> 



+ 



2 cos 



, ,, ,, cos A^» sin a; , , .„ 



COS0 



+ 



$'2 \ 



cosA^sina; 



COS 



/^(^j'fZ)" 



tg0 



sin -^'n 



COS<? 



Durch Einsetzen dieser Ausdrücke in die Differentialgleichung (13a) erhält man: 



= 



d^y' , , , ^, sinZ„ 

 dx"-^-' ^ cos ^ 



+ 



d^y" 



dx^ 



+ y"~<P 



,2 sin Xg sin (p 



2 cos- (P 



$'y' 



, ^, ^y' cosAT.cosa; ,.„ sinAT. 

 _|_ 0' — :^ 5 I 0" n 



dx cos cos <P 



+ 



d^t/^ 

 dx^ 



-fy'" 



-8^" + ^n^^ 



cos X„ sin a; 



COS0 



,fdy' 



—y^ 





C?'^ sinX„ „ jCosAT^sina-'sin^ Jy' cos A„cosa;sin ^ b , .^ sinA„ 



6 cos«?' 



2 cos2 <? 



c^a; 



2 cos^ 



, ^, /'^2/'\^ sinA» , ,, „ cos An sin a; , ,, <2m" cosAnCosa; , ,„ , 

 \dxj cos^ ' -^ cos?? c?a; cos0 



^„ ^ cosX„cosa: _ ^, ^„ sin X^ sin ^ ^,„ sin A« 

 (^a; cos«? cos-0 cos0 



2 ' '' cos«? 

 cosA„sina; 



cos 



