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Von hier ab wollen wir nur mit Gliedern bis zu p* rechnen. Die dadurch erreichte 

 Genauigkeit reicht, wie wir sehen werden, wohl für alle praktischen Zwecke aus und zudem 

 ist ja alles Material zusammengetragen, um die Rechnung ohne Schwierigkeit bis auf 

 Glieder e^ zu erweitern. 



Bis auf Glieder e* genau ist also: 



B') 



^■--i'hiim- 



dx 



^ 



J\ e- _ . „ e'' , 13 



1 — .^ cos^ A'„sin- j; — — - cos^ X^sin^a; -f- wj e*cos*A'„sin*:E 



24 



dx 



D') 



J'\ e- , „ e^ ^ 13 e^ 



1 — .^ cos^A'gsin-a; — -cos*A'osin^a; + r,, e*cos*A'„sin*x -|- -^y'sm2XgS\nx 



% 



'^2\dx) 2 



dx . 



Es wird daher: 



^-^-iJm-'r 



dx 



''~'^li[j'"'-[%) -'^'y'sinSAr^sin^ 



^ 



dx 



-^{S' — S) — a [ sin2X(, I y'smxdx. 



Man sieht also: Der größte Kreis S und sein Bild s' einerseits und andererseits die 

 geodätische Linie s und ihr Bild 6" unterscheiden sich ihrer Länge nach nur um eine 

 Größe von der Ordnung e*. 



Was jedoch an den Formeln sehr auffällig erscheint, ist folgendes: Es hat den An- 

 schein, als ob sich auch die Differenzen ä' — Sund s' — s voneinander um eine Größe von 

 der Ordnung e* unterschieden, wie man auch den Radius R der abbildenden Kugel wählen 

 möchte. Dies Ergebnis wäre sehr merkwürdig, und man kommt deshalb auf die Ver- 

 mutung, daß die Gleichung besteht: 



27) 



/['■-(f)' 



J-2 



dx = sin 2 A'^^ 



J «/'sin. 



dx. 



«1 



Ist (27) richtig, so folgt nämlich für R = a: s' — s = S' — S. Man findet aber 

 durch Einsetzen der Werte für y' und -r— (nach (18) und (19)) und durch Integrieren: 



