28 



E) 



F) 



f 



dx 



dx = 



^gSin2 2X„ 



— 2aj ) + 2ajsin^a;(a; — a^) 



-\- sina; cosa; ( „ -j- ä\ — «2+2 



sm 



Je* 

 i/'sinxdx = — sin^ 2ä'q 



a.^x — x^\ 

 (1 + 2aj){x — sin a; cos a;) + 2sin^a;(a2 — x) 



Xi 



Indem man in (E) und (F) die Werte für «j und a^ aus (18 a) einsetzt, findet man 

 nach längerer Rechnung, daß die rechten Seiten von (E) und (F) tatsächlich einander 

 gleich werden, daß also die Gleichung (27) zu Recht besteht. Da die rechte Seite von (F) 

 bequemer zu berechnen ist als die von (E). verwenden wir erstere und finden bis auf 

 Größen e* genau: 



28) 



s' 



— 



s = 



— 



e* 

 -^64 



sin^ 



2A; 



5" 



— 



S = 



— 





sin- 



2X, 



s' 



a 



-s 



S' 



— S 











E '■ 





(1 -|- 2 «j) {x — sin X cos x) -\- 2 sin-x{a^ — x) 

 (1 -j- 2a^){x — sin a; cos a;) + 2sin^a;(a2 — x) 



Ferner ergibt sich unter Benützung von (27) durch Integration aus (D') die Länge s 

 der geodätischen Linie auf dem Ellipsoid (bis auf Größen e* genau): 



e* . r 

 sin a; cos .i' — " cos-X„ (a; — sin a; cos a;) 



29) 



'2 e' o .^ 



JX\ 



4 cos-A„ 



-}- cos- Xg ( sin^a;cosa; + ^ si 

 24 \ 2 



4" 2sin-a;(ao — x) 



sinxcosa; — ^x 



'^-{i 



l-\- 2a^]{x — sina;cosa;) 



Dabei hat nach dem Vorhergehenden die letzte geschweifte Klammer mit ihren zu- 



e* s ' — s 

 gehörigen Faktoren — also sin-XgCos^X^ {. . .} — die geometrische Bedeutung: . 



1 D Ci 



Natürhch kann mittels Gleichung (29) auch ohne weiteres die Entfernung PjP oder 

 P.,P berechnet werden, wobei P irgend ein Punkt auf der durch P, und P^ bestimmten 

 geodätischen Linie ist. Man hat einfach, ohne au den Konstanten a^ und a.^ etwas zu 

 ändern, das Integral zwischen den Grenzen x und x^ resp. x und x^ zu nehmen. 



Eine gute Kontrolle für die Richtigkeit unserer Formeln ist es, daß bei allen folgenden 

 Beispielen s' — s sowie S' — S positiv werden muß. 



Die Abschätzung der Größe von s' — s ist auch für die Praxis recht interessant : 



o 



Ein Seefahrer, der seinen Kurs nach Maßgabe eines Globus bestimmt, wird seinen Weg 

 von einem Punkt Pj zu einem anderen P^ auf dem Globus gemessen längs eines größten 



