36 



gibt eingesetzt in (18): 



yMax = + 7-0,8604 -cos 49° 17;5 



4: 



= 3' 13" 

 = 5,96 km. 

 Ganz analog läßt sich die Rechnung genauer durchführen, wenn man ?/ ^ ?/' + y" 

 oder ^ = 2/' + 2/" + V'" setzt. 



Ad b: Wir wollen wieder nur in 1. Näherung (bis auf Glieder e^) rechnen und als 

 Beispiel unser voriges nehmen (a;, = 0; x.^ = 90"; X^ = 135": a^ = a^ = Q). 

 Für x^27i wird nach (18): 



2/ = -^.2.-T = 36'2" = 66,74km. 



Übrigens ist für x^ = a, immer auch ^ (vgl. 18 a). Der Abstand y der geodäti- 

 schen Linie von ihrem Ausgangspunkt nach einem vollen Umlauf hängt aber in 1. Nähe- 

 rung von öj gar nicht ab; wir erhalten also unabhängig von a', immer denselben Wert 

 y = 36' 2", solange wir nur x^ = und A'^ = 135" belassen. 



Ferner läßt sich unschwer beweisen, daß der eben berechnete Wert von 36' 2" den 

 Maximalwert darstellt, den der verlangte Abstand annehmen kann. 



Dies letzte Beispiel hängt eng zusammen mit den Ausführungen über die Enveloppen 

 der geodätischen Linien (vgl. § 12). 



§ 8. 

 Konvergenzuntersuchnnc:. 



In den folgenden Untersuchungen kann es sich nur darum handeln : 



1. qualitativ die Größen festzustellen, die die Konvergenz hauptsächlich gefährden; 



2. quantitativ die Größenordnung des Variabilitätsbereichs für diese Größen zu bestimmen. 

 Die Konvergenz der Reihenentwicklungen für qi und <P (vgl. Gleichung 7 und 8) ist 



nicht zweifelhaft, da als Faktoren von e-" nur Glieder von der Größenordnung 1 auftreten. 



Dasselbe gilt für — ° — und — ° — . Auch die Reihenentwicklungen für sin«, cosw etc. in 

 " 3x dy o j^ j 



der Differentialgleichung (13) sind für alle Werte y erlaubt. 



Die Reiheutentwicklungen für die Lösung y der Differentialgleichung (13) braucht 



jedoch nicht immer zu konvergieren. Zwei Umstände können die Konvergenz gefährden : 



1. das Auftreten der Glieder mit x, x-, x^ . . . als Faktoren (wenn x sehr groß); 2. das 



eventuelle starke Anwachsen der Integrationskonstanten fflj, a,; b^, b^; c,, c, etc. und ihrer 



Potenzen, sowie der Konstanten Ä", 1, . . . 



Ad 1. Man sieht ohne weiteres, daß ein Glied mit e-" sicher keine höhere Potenz 

 von x als x-"~^ als Faktor bei sich haben kann. In der Lösung für y'"+^'> — wobei y^"*" 

 die (« -f- 1)'^ Korrektion bedeutet, y' als erste gezählt — können ja keine anderen Integrale 

 auftreten als Integrale von der Form 



