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ji/"^y'dx, ^yi"-^'>y"dx, jyi''-''^y'-dx etc. 



d. h. die Summe der Striche, mit denen die y unter dem Integral versehen sind, darf höchstens 

 H 4" 1 sein. Wenn die Behauptung also für die n ersten Korrektionen y',y", ■ . ., y^"^ gilt 

 — und für y' und y" gilt sie — , so werden diese Integrale in x und e von der Form 



Jedenfalls treten keine höheren Potenzen von x auf. Die Korrektion 2/*"+'' hat also, 

 soweit sie uns hier beschäftigt, die Form 



3.2 „+i 



^c..+i)cv)e-"+2 



;w + r 



So lange also die übrigen Faktoren von der Gröiäenordnung 1 bleiben, ist Konvergenz 



zu erwarten, so lange 



g2n + 2^2„;+l(2„. 



lim 



■1)\ 



'x-"-^{2n + l) 



= e^-x^\<l, 



d. h. 



x' < = ca. 12,2. 



e 



Für a;>r2 (= ca. 76000 km) würde hiernach die Konvergenz zweifelhaft. 

 Tatsächlich ist aber dieser Konvergenzbereich zu eng. Um dies einzusehen, entwickeln 

 wir in der Differentialgleichung (13) siny, cosy etc. nach Potenzen von y und setzen für 



den Moment "^-^ = e- p und -- = e-ri, um anzudeuten, daß — und 



dx -^ dy -^ dx dy 



zwar klein sind wie e". aber y nicht enthalten : 



dx'-\ 



2! 4! 



■hH 



3 „5^ 



2! 4! 



13') -f 



(dj\ 

 \dx) 



y 



+ l^-2!+4!--' 



y- 



3! 



+ (l-^' + ^' 



^ ' 2! ^4! 



+ 



e^l 







= 0. 



Daraus ersieht man, daß in der Differentialgleichung für 2/"' + " niemals ein Produkt 



ich 

 dy 



der Größen «yf"^ oder ., — mit y', -rh- oder ^p-r- vorkommen kann. Dies könnte nämlich 

 ■^ dx -^ ' dx dx^ 



dx 



nur auftreten, wenn irgendwo in der Differentialgleichung ein Glied 2. Grades in y, 



d^y 

 oder -j-^ vorkäme, das außerdem in e^ nur klein wäre von derselben Ordnung wie y'^: Ein 



lineares Glied in y und seinen Differentialquotienten, z. B. y selbst, gibt ja nach unserer 

 Substitution y = y' -\- y" -\- y'" -\- ■ ■ ■ -\- «/'"' + • • ■ niemals ein Produkt dieser Substitutions- 

 größen y', y" etc. Ein Glied von höherer Ordnung als der zweiten dagegen, z. B. y^, gibt 

 aber, wenn wir bei Berechnung der Korrektion 2/'"+'' nur Glieder bis zur Größenordnung 

 ^(n+i) berücksichtigen (wie wir es ja nach unserem Verfahren tun müssen): 



r 



(2/' + 2/" + ---+2/<''' + y" + '0' 



= y" + ?^y'Hy" + • • ■ + y'"-'») + 'iy'{y" + • • • + 2/'"--')' + iy" + • • • +y("-ä')^ 



