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§ 11- 

 Formen der Bildkurve, i) 



Im wesentlichen ist die Form der Bildkurve bestimmt durcli die 1. Näherung: 



A) «/ = Y sin 2 Xg («j sin x -\- a^ cos x — -x cos x) 



denn so lange unsere Reihenentwicklungen gelten (vgl. § 8), geben die folgenden Korrek- 

 turen nur Verbesserungen von ca. —-- des Betrags von dem y der 1. Näherung. 

 ■ Für sin 2 X„ = also für 



^o=±^0^ = 0,l,2...) 



d. h. für Äquator und Meridiane (vgl. S. 8) wird i/ immer gleich Null d. h. Bildkurve 

 und größter Kreis fallen zusammen. Dieser Ausnahmefall sei im folgenden ausgeschlossen. 



Wir wollen jetzt die Schnittpunkte der Bildkurve mit dem größten Kreis betrachten. 



Durch Differenzieren ergibt sich aus A) 



B) ^- = - sin 2 A'„ [(«j — l)cosa; — a^sina; -(-a;sina;] 



d^y e- 



C) -j—^ = Y si° 2 A'i, [ — {a^ sina; -j- a.^cosx — a;cosa;) -|- 2sina;] . 



Für den Schnittpunkt der Bildkurve mit dem größten Kreis (also für y ^ 0) wird daher 



dx' ■" " 

 so lange sina; ^ d. h. 



„Dann und nur dann ist der Schnittpunkt der Bildkurve mit dem größten Kreis 

 ein Wendepunkt, wenn er auf den Äquator fällt." ^) 



Die Abszissen der Schnittpunkte ergeben sich (da sin 2 Xg =p vorausgesetzt ist) 

 aus der Gleichung 



D) a, sin x -\- a., cos x — x cos x ^ 

 oder 



41) X — ö, ^ «1 tg^, 



also ganz unabhängig von Jtg. Bei dem Übergang von D) zur Gleichung 41) wurde 

 jedoch durch cosa; dividiert. Das ist nicht gestattet, wenn cosa; = eine Lösung der 

 Gleichung D) ist. 



') Vgl. eine entsprechende Diskussion bei Krüger „Konforme Abbildungen des Erdellipsoids in 

 der Ebene'. Veröffentlichungen der K. Preuß. geod. Inst. Potsdam 1912, S. 126 tf. 

 2) Vgl. Krüger 1. c. S. 128. 



