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Eine Bemerkung sei noch angeschlossen: Wenn | x^ — x^ \ um so viel <2-R ist, 



daß - — :: r von der Größenordnung 1 wird, dann beherrschen wir nach 8 8 den 



sui(a;2 — a;,) 



Verlauf unserer Bildkurve bis auf mehrere volle Umläufe. Wir sehen dann aus Fig. 1, 



daß die Abstände der aufeinanderfolgenden Schnittpunkte mit dem größten Kreis sich n 



nähern (im allgemeinen sehr rasch !). 



§ 12. 

 Euveloppe der geodätischen Linien. 



V. Brauumühl*), Rohn^) u. a. haben die Euveloppe geodätischer Linien auf Rotations- 

 flächen mittels elliptischer Funktionen behandelt. Eine Anvrendung auf das Erdellipsoid 

 haben ihre Untersuchungen wohl nie gefunden, was mit den schwer zu überblickenden 

 Resultaten zusammenhängen mag sowie mit den umständlichen Rechnungen, die für jeden 

 Einzelfall notwendig sind. So ist selbst über die Größenordnung der auf dem Erdellipsoid 

 auftretenden Enveloppen meines Erachtens noch nichts bekannt. 



Unsere Aufgabe soll es im folgenden sein, mittels unserer bisherigen Resultate be- 

 queme und doch bis auf ca. 3" genaue Näherungsformeln für die Enveloppen geodätischer 

 Linien auf dem Erdellipsoid aufzustellen. Zugleich haben wir Gelegenheit, durch Vergleich 

 mit einem Braunmühischen Resultat zwei Stichproben auf die Richtigkeit der Glieder 

 unserer 3. Korrektion anzustellen. 



Die Enveloppen auf dem abgeplatteten Rotationsellipsoid haben eine Gestalt, die 

 stark an eine Astroide erinnert. Für einen Punkt P mit der Breite 93 liegen 2 Spitzen 

 auf dem Parallelkreis — <p (der Bequemlichkeit halber wollen wir sie im folgenden „Spitzen 

 auf dem Parallelkreis" nennen), die zwei andern Spitzen liegen auf dem (über Nord- und 

 Südpol fortgesetzten) Meridian durch P („Spitzen auf dem Meridian"). [Näheres vgl. bei 

 V. BraunmühP).] 



Für einen Punkt auf dem Äquator arten bei der Bestimmung der Spitzen auf dem 

 Parallelkreis (hier Äquator) die elliptischen Funktionen^) aus und es ergibt sich nach 

 kurzer Rechnung das einfache Resultat: 



Abstand d der näher gelegenen Spitze vom Punkte P 



d = - n Qj = kleine, a = große Achse des EUipsoids ; Zahlenangaben und Zitat S. 30) 

 = 3,131 091 02214 

 = .T — 36' 6; 11 697. 

 Der Abstand der zwei auf dem Äquator gelegenen Spitzen von einander ist daher 



l''12'12"2.3394. 



1) V. Brannmühl .Über Enveloppen geodätischer Linien". Math. Ann. 14, S. 557 ff. 



j ,Die Enveloppen geodäti-schev Linien auf das verL und abgepL Rotationsellipsoid". 



Abb. zu den math. Modellen augefertigt im math. Institut der K. Technischen Hochschule in München. 

 Abb. XVIII. 



^) Rohn ,Die geodätischen Linien auf dem Rotationsellipsoid". Abh. zu d. math. Mod. etc. Abh. lY. 



