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Unter Berücksichtigung der letzten zwei Gleichungen erhält man aber sofort: 



— sma;o cosa;o j + cos''a;o 



'-'■»■o i_ „„„2^ S{l i*—h)AJ^ ^ ^ 



sin Xq cos X(, 



i:{k*—]c)AJ.^^ 



— sin^ X, 



^ik*—Jc)AJ^^ 







q. e. d. 



Aus 20) ergibt sich: 



Ä*-Äj = -•2^sina;oCosa;o(l-2cos^Ä^o)"> ^'!-^o = 0; ä-*-^-^ = 2(5sin^a;osin^A''(,; ]c*-]c^^O 



daher aus 21) 

 2{k*-Jc)J = -^sina;oCosa;o(l-2cos^Xo)sin^a;+<5sin-a;osin^X(,(a; + sina;cosa;) 

 Z{Jo*-h)Jxo= (3sin^a;o(a;osin^Aro4"sina;oCosa;oCos^AlQ) = — (&* — &J 

 Z{¥^-'k)J ^-ösina;oCosa;o(l-2cos^-Ao)(a;-sina;cosa;)-j-^sin-a;osin^Xosin^a; 

 ZQi*-'lc)Jxf,= 6[sin*a;osin^Xo — sina;oCosa;o(l-2cos^Ao)(a;„-sina;oCosa;o)] = — (&* — 6,) 



also (vgl. die Gleichung A) auf S. 58): 

 sina;2'(Ä*-/i;)J'-cosa;2'(Z;*-/i;) J=^[sina;oCOsa;o(l-2cos^Xo)(sina;-a;cosa;)— sin^a^osin^^o^sina;]. 

 Damit wird schließlich : 



y*" — y" = <5 -j- sin 2 X(, sin a;o [J-sinx + J?cosa; + Ca;cosa; -f- Da;sina;] 



pobei 



47) 



A = — sin x^i {Xq sin^ X^ + sin x^ cos x^ cos^ X^ — cos a;,, (1 — 2 cos^ A'q) 

 B ^ — cos a^n (1 — 2 cos^ X^ {Xq — sin x^^ cos x^ -\- sin^ x^ sin^ X^ 

 C = cos a;o (1 — 2 cos^ A'o) 

 Z) := sina^gsin^ Ag. 



Die Enveloppe ergibt sich aus y*' — y' -\- y*" — y" = also: 

 = (asina; + öcosa;) -\- e^(4sina; + -Bcosa; + Ca;cosa; -\- I)xs,mx) 

 wobei noch 



; cos Xq 



6 = — 2 sin X,., 



Die letzte Gleichung stellt das Abbild der Enveloppe auf der Kugel dar. 



Bei der Ableitung von 47) wurde durch sina;„sin2XQ dividiert. Trotzdem gilt 47) 

 auch für a;,, = (also für einen Punkt des Äquators) sowie für Xg =: 0" oder 180" (also 

 für die Spitzen auf dem Meridian), da bei-eits bekannt ist, daß die verschiedenen Enveloppen 

 kontinuierlich in einander übergehen. 



Die Spitzen auf dem Parallelkreis erhält man aus 47) für: x^ 

 Meridian „ „ ., „ 



" a; = '] + 4^/) 



^0 = ^0 ^^"o 



•) D. h. als Schnittpunkt zweier geodätischer Linien, die den Parallelkreia in Pq berühren, 

 vgl. V. Braunmühl, Ann. 14. 



