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Diese Gleichung ändert sich sehr wohl, falls man x mit 2 ^^ — x vertauscht d. h. die 

 Spitzen stehen nach beiden Seiten nicht gleichweit vom Punkte Pg ab (ausgenommen 



wenn (Pg = 0, — etc.). 



Li 



Beispiele: Man erhält aus 49) folgende Abstände der Spitzen von P^, (wobei der 

 eine Abstand A^- über den Nordpol, der andre As über den Südpol gemessen ist): 



^0=0 As = 180° 36' 2:4 As = 180" 36' 2:4 



^0 = 45" Av = 180" 17' 557 J.S = 180° 18' 6,7 



«50= 90" ^^. = 180» J,s = 180". 



Anmerkung, v. Braunmühl hat den Satz aufgestellt,^) daß sich auf dem abge- 

 platteten Rotationsellipsoid zwei unendlich benachbarte geodätische Linien erst nach Vol- 

 lendung „ihrer halben Periode" schneiden. Dieser Satz scheint zwar mit unseren Resultaten 

 unter B), nicht aber mit denen unter A) zu stimmen. Die Unstimmigkeit ist jedoch bloß 

 scheinbar: Der Braunmühische Satz behauptet nur, daß sich zwei benachbarte geodätische 

 Linien, die von einem Punkt P^ des Kreises $j = const. ausgehen erst schneiden nachdem 

 sie den Kreis — ^0= const. getroffen haben. ^) Dies widerspricht aber unsern Resultaten 

 keineswegs. 



Enveloppen höherer Ordnung. 



Die Gleichungen 48) und 49) haben natürlich unendlich viele Lösungen x. Je zwei 

 aufeinanderfolgende Werte dieser x unterscheiden sich ungefähr um 71 voneinander. Setzen 



wir deshalb in 48) resp. 49) 



ji 

 a; = (2 w -f 1) ^ — 6 resp. x ^= nn -\- ^^-\- b' 



(wobei n ^ 1, 2 . . .), so wird b und b' klein wie e- und wir erhalten nach kurzer Rech- 

 nung unter Vernachläßigung höherer Glieder in e- 



aus 48) b = ^ n n cos^ (?o 



e- 

 aus 49) b' = —nn. cos^ $0 • 



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Wenn wir in 49) 



setzen (also im Sinne fallender x fortschreiten) so wird 



b" = b' = ~nncos^-0o- 



Daraus sehen wir: 1. Die Abstände der Spitzen der Enveloppen W.Ordnung sind 

 (bis auf Glieder höherer Ordnung) n mal so groß als die betreffenden Abstände der 

 Enveloppen 1. Ordnung. 2. Die Spitzen beider Art rücken proportional mit cos^<5o zu- 

 sammen, wenn 0^ vom Äquator zum Pol fortschreitet. 3. Die Abstände der Spitzen auf 

 dem Parallelkreis (= 2b) sind gleich den Abständen der Spitzen auf dem Meridian 

 (= (5' + b") bis auf Glieder höherer Ordnung. 



1) Math. Ann. 14 (1S79) S. 563. 



-) Und zwar auf dem Weg : Po auf Kreis <Po ^ const. — Grenzkreis (d. h. Kreis, dem das größte 4> 

 zukommt, das von der geod. Linie en-eicht wird) — Kreis <Po ^= const. — Kreis ( — #0) = const. (vgl. 1. c. S. 558). 



