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Diese Bedingung ist jedenfalls notwendig, sie ist aber auch hinreichend. Denn wenn 

 irgend ein /"(^,, x^, x^) gegeben ist, das die partielle Diiferentialgleichung 51) erfüllt, so 

 folgt aus dieser durch Integrieren : 



ig/; = ig/"3+igv'(^ä.^s) 



oder 



9 a^o 9 x„ 



f") dr-:^V'(^2, a,-3) = o 



worin v' irgend eine von x^ unabhängige Funktion bedeutet. 



Bf df 



In C) ist aber und - — bekannt, da ja f{z^, x.^, x^) gegeben ist. Also kann aus 



C) das v'C^'s' ^3) bestimmt werden. 



Da aber weiter 



Sf df agp _ 39? 



gilt (cf. oben), so hat man für das gesuchte cp die partielle lineare, homogene Differential- 

 gleichung : 



52) -^^^-^^^V^fe.3) = 



und diese Gleichung hat immer eine Lösung — eben die gesuchte Beziehung (p{x^, x^) 

 zwischen x.-, und x^. Also ist die Bedingung 51) auch hinreichend. 



Für unsere Zwecke folgt aus der Bedingung 51), daß schon der Ausdruck 





'^ ° " sm(x^-x^y 



der in unserer ersten Azimutkorrektion vorkommt, nicht als Funktion von 99j, (p^ und ?i 

 (wobei /. = /.2 — /j) nomographisch dargestellt werden kann. Denn aus 



cos (a;, — ^1) = sin (5, sin 0^ + cos ^^ cos ^^ '^os l (da L = 2) 



= f, (X, 0„ 0,) 



= f i^; <Pv 92) 

 folgt nach kurzer Rechnung, falls man den Ansatz versucht 



/■[;., 99(99,, 99,)] = /■(/, 95i, 9^2) 



3Y Sf r-f df • , • , 1 ^ w N 3*1 3^2 



—. 1 • = smZsin(99, + 95„)sin(99, — 99,) — * — -\ 



3/9^,99^2 dXd<p.^ 993, ^^' ^^ ^^' ^^'df^dfp^ 



ebenso folgt für den Ansatz 



.n N /T /; NT 3V 3/" 3Y 3f » ■ , 3<^, 3*2 

 f ()., cp.. rp») ^ / 05,, OB (>., 09.) , , = cos-93, sin/l ' — - 



f (/, 9;,, 9^2) = /^[9;i, 93 (;., cpy\ _ — -_^- = cos V2 sin;. — -' — ^ 



999j3/t3992 999,99923/ dcp^dcp^ 



also ist die Gleichung 51) in keinem der drei möglichen Fälle erfüllt, d. h. cos(a;2 — x^ 

 ist als Funktion von l, cp^, rp^ nicht nomographisch darstellbar. Dies gilt dann sofort auch 



X — X 



für jede andere Funktion von (x.,— x.) allein, z. B. für -. — >^ ^ — c.^) 



'' - - 1' sin(a;2 — x^) 



1) Ein analytischer Beweis für diese an sieh schon einleuchtende Behauptung wäre etwa: 



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