Frosentus: Die Reduction der indefiniten binären quadratischen Formen. 203 
s weder 0 noch &; nie ist b=+R, oder wenn ® eine ganze Zahl 
ist, &R=b’—=b+2aß (oder b+2c$), weil b’ der zweite Koeffizient 
einer äquivalenten (parallelen) Form ist. 
Zwei Formen y(x,y) und y’(x’, y') heißen (eigentlich) äquiva- 
lent, wenn g in p’ durch eine Substitution 
(1) a 
8 y=y:+%Y 
übergeht, deren Koeffizienten ganze Zahlen sind, und deren Determinante 
adö-ßy—= +1 ist. Ist r’ die erste Wurzel von p’, so ist dann 
y+ ör' 
a+Bßr' 
(2.) r— 
Mit () bezeichne ich die spezielle Substitution 
0-1 ea : 
(3.) (8) 2 be ;) : = ) a 
Durch diese geht 9 = (a, b, a,) in die (nach rechts) benachbarte Form 
9, = (a,, d,, a,) über, wo 
1 
(4) ı +5= 208, ,=a-bta®?—ar,sb-b) 
ist. Daß in der ersten Gleichung $ eine ganze Zahl ist, drücke ich 
auch durch die Kongruenz b, = -5 (mod 2a,) aus. 
Eine Form (a, 5b, c) heißt reduziert, wenn 
(5.) BER,  1>B-Wläl, >> Reale 
ist. Dann ist 
EUR - — 4er > (R-Dii Ir > Rd 530, 
und 
b2< R? — b?-Aarc, ac<o0 
demnach 
(b + 2]a|? > R? = b? + 4lac|, b>Jjel-Jal; 
ebenso b>Ja|-|e|, also d5>|a-+ c|, endlich 
R: — b®-4ac>(a+c)’-4iac = (a-e)?. 
In jeder reduzierten Form ist also 
(6) 5>o, 00 <0, b>jla+e|, R>]ja-e|. 
Die wichtigsten Folgerungen ergeben sich aber aus einer anderen 
Form der Reduktionsbedingungen: 
u 
