204 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 13. Februar 1913. 
Ist p eine reduzierte Form, so ist b>|R-2e|, sowohl wenn 
e=|a| als auch wenn e=|e| is. Wenn umgekehrt auch nur für 
einen der beiden äußeren Koeffizienten 
(7-) R>b>|R-2e]| 
ist, so ist p eine reduzierte Form. 
Denn weil in einer reduzierten Form 
(8.) 4|ac| = R®-b?—= (R+b)(R-b) 
ist, so folgen aus den beiden ersten der 4 Ungleichheiten 
2|a|>R-b, 2jle|> R-b, 
9.) 2ja|l<R+b, 2je|<R+tb, 
die beiden andern. Mithin ist 
b>R-2, b>2e-R, b>|R-2e]|. 
Umgekehrt folgt aus (7.) etwa für e=|a| die erste und die dritte 
Ungleichheit. (9.), und daraus nach (8.) die beiden andern. 
Die Bedeutung dieses Satzes will ich noch schärfer ins Licht 
setzen: Wenn man weiß, welche der beiden Größen |@a| und |e| die 
kleinere ist, etwa |a|, so ist von den 3 Bedingungen (5.) die dritte 
eine Folge der zweiten. Aus R’ — b’+4lac| folgt dann R-2|a|>0. 
Aber nach dem Satze I. ist auch die Bedingung 5>R-2|c| allein hin- 
reichend, vorausgesetzt, daß auch 2|e|<R ist, was, wie ich zeigen 
werde, in der Regel der Fall ist. Sollte aber 2|e|>R sein, so können 
die beiden letzten Bedingungen (5.) durch 5>2|c|-R ersetzt werden. 
Ist für einen der beiden äußeren Koeffizienten 
(10.) R>5b>R-2e>0, 
so ist p sicher eine reduzierte Form. 
Von den beiden Wurzeln der Form g hat die erste r mit a, die 
zweite s mit c das gleiche Vorzeichen. Aus (9.) ergeben sich 
(11.) Iri>E jei<1, rs <0 
als notwendige und hinreichende Reduktionsbedingungen. Ist also 
a>0d, so st r>1I>0>s>-1, ist aber a <0, o Bi r<-I<0<3<L 
Von den drei Zahlen 1,0, -1 liegen stets zwei, aber auch nur zwei 
zwischen r und s. Daher wird a+5b2+c2? für 2= +1 positiv, für 
z = -1 negativ. So ergibt sich die rationale Form der Reduktions- 
bedingungen 
(12) (1, >0, e(1,-1)<0, 9 (1,0) (0,1) <o0 
oder 
(13.) b>la+te|, ace<o. 
