Frogentus: Die Reduction der indefiniten binären quadratischen Formen. 205 
8.2. 
Jede reduzierte Form g, = (a,, d,, —a,) mit den Wurzeln r und s 
hat eine und nur eine nach rechts benachbarte Form 9, = (-a,, b,, a,), 
die gleichfalls reduziert ist. Sind r’ und s’ ihre Wurzeln, so zeigen 
dies die Formeln 
1 1 
er MrAuBerTE 
(1.) 
ee Is] =|e|+ls]- 
ö hat dasselbe Vorzeichen, wie -—a,, und |d| ist die größte ganze 
Zahl E(|r|) = Eur) unter |r| oder unter er Ebenso hat 9, 
eine und nur eine nach links benachbarte reduzierte Form p_, = 
(-@_,,b_,, a,). Durch Fortsetzung dieses Verfahrens erhält man aus 
9, eine Kette reduzierter Formen 
DEE, Q-ı5 P05 15 Qa,'* L) 
worin die Form 
(2.) er ((-1)* a, bi; (-1)’*!a,4ı) 
der Form p,_, benachbart ist, und p,_, durch die Substitution ((-1)*%,) 
in g, übergeht. Durch jedes ihrer Glieder ist die ganze Kette be- 
stimmt; die Kette von g, ist zugleich die von 9,. Daher kann man 
a, als positiv voraussetzen. Dann sind alle Größen a,, b,, k, positiv. 
Die unendlich vielen Glieder der Kette sind alle voneinander ver- 
schieden, außer wenn a,,b,,a, in rationalen Verhältnissen stehen. 
Dann wiederholt sich eine endliche (gerade) Anzahl von Formen un- 
endlich oft periodisch. 
Nach (4.) $ı ist 
1 
(3.) b, + b,-, = 2a,k,, Arrı = 4-1 + kıld-ı -b,), 
und wenn (-1)’r, und - (-1)*s, die Wurzeln von 9, sind, 
we R+Db, ve 2a, Su R-b, a 2aı ® 
ie ap 2a,4ı  R-b : ER 2a, 41 R+b, 
und nach (1.) 
1 
(5.) ee Et ’ a kı+s-ı5 k, am, E(r,.-ı) Fe x.) 
T\ S, 
und mithin, wenn w>X ist, also p, rechts von 9, steht, 
1 1 
(6.) ae OR NL (bh eehanzg) 
