Frosentus: Die Reduction der indefiniten binären quadratischen Formen. 207 
Wenn nun aus der Form %,_, die Werte von a,_,, a, und /,_, be- 
kannt sind, so liefert die erste Formel mit einem Schlage die beiden 
positiven Zahlen k, und /,. Denn weil /, <a, ist, so ist k, der Quo- 
tient und /, der Rest bei der Division von A-/,_, durch a,. Dann 
liefert die zweite Formel a,,.- 
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Ich will nun zeigen, daß zwei reduzierte Formen g und y‘, die 
äquivalent sind, derselben Kette angehören. Sei (1.) $ ı die Substi- 
tution, die p in y’ transformiert, oder wenn es mehrere Substitutionen 
gibt, irgendeine derselben. 
Wenn auf und y’ in ihren Ketten p, und , folgen, so sind je 
zwei dieser vier Formen äquivalent. Daher kann man von vornherein 
annehmen, daß in g und g' die ersten Koeffizienten positiv sind. Dann 
sind ihre ersten Wurzeln r und r’ positiv, ihre zweiten Wurzeln, die 
ich mit -—s und -s’ bezeichnen will, negativ. Die Gleichung (1.)$ ı 
gilt dann auch, wenn man r und r’ durch -s und -s’ ersetzt. Die 
Koeffizienten von P haben in diesem Falle gewisse Eigenschaften: 
Stets ist y > 0 und nur dann ßy = (0, wenn B=y=d ist. 
Da man P durch - P ersetzen kann, so sei 2>(0, undseiy>®, 
falls & —= 0 ist. Dies kann aber nicht eintreten. Sonst wäre dy = -1, 
Bm -1}, Me, raue, 
r >1. Daher ist «21. 
Die Gleichung (2.) $ı kann man auf die Form 
(1.) en (a +e)=1. (as + Y) (5-2) =: 
bringen. 
It ß=0, wit a=d=l, y=s-s, IyI<ı, also y=(0. Ist 
umgekehrt y — 0, so ist 8 — = & n ‚|%]<1, ao 8&=0. Dann 
ist P die identische Substitution, also p = V. 
It 8 >0, so ist y>a: 
1 ; 
i ‚aleod=-r ee: 1, zugleich aber 
auch dö=+s+ 
a 
atP>r, Maya YTABMES 
It y>0, so ist B>a: 
a 
au +y>1, —-B<I, ee Eee 
Daher ist in allen Fällen &y>0, «8>1, also auch ö positiv. Sollten 
8 und y beide negativ sein, sd’ sind in der inversen Substitution 
