208 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 13. Februar 1913. 
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alle Koeffizienten positiv. Indem man nötigenfalls g und ’ vertauscht, 
kann man erreichen, daß P selbst lauter positive Koeffizienten hat. 
Dann ist, wie oben gezeigt, 
r2a,. yd2ad>Py, 2>B, 
b>a, Be>ad>PBy, &>y, 
also 
(2.) B>a, u °>B, e>y. 
Sind ö und d>® zwei positive teilerfremde Zahlen, so kann man 
stets und nur in einer Weise zwei positive Zahlen E=« undy=y 
so bestimmen, daß d£-&4 —=1 und außerdem E<ß, also n<o wird. 
Nach Bacaer entwickle man 
5 — (kı, ka, BER k,) 
in einen Kettenbruch, worin k,,---k, positiv sind. Man kann u ge- 
rade wählen, und dann ist der Kettenbruch vollständig bestimmt. Weil 
o>ß ist, so ist auch k,>0. Die positiven teilerfremden Zahlen &. 
und y sind jetzt durch die Gleichung 
2 — (k,ks,---k,-ı) 
bestimmt. Nach der Bezeichnung von Evurrr ist 
e=fks-- kn, Befks--- kl, 
y-= [kı, ---ku-1]> ra [kı, :--%,]» 
und mithin ist 
(3.) ro Er TR RD 
It z.B. o=y,sita=y=1,d=ß+1lundr = (1,ß,r'). 
It a=ß=1, so istö=y+1lundr=(y,1l,r'). Da aber eine 
irrationale positive Größe r nur auf eine Art in einen Kettenbruch 
entwickelt werden kann, so sind, weil r’>1 ist, die positiven ganzen 
Zahlen k,,k,,---%k, die ersten » Teilnenner des Kettenbruchs für r, 
und folglich ist (3.) die Substitution, die pin p, überführt, und dem- 
nach ist 9 = g,. Diese Form », steht in der Kette rechts von 9, 
weil wir 8 und y als positiv vorausgesetzt haben. Hätten wir sie 
negativ gewählt, so würde p’ links von g stehen. 
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Es bleibt noch zu beweisen, daß jede Form (a,, b,,a,) einer redu- 
zierten äquivalent ist. Sei (a,,d,,a,) eine benachbarte Form, worin 
Id,| = Ja, | ist, (a,, d,, a,) eine dazu benachbarte Form, worin ld.| = le; | 
