Froszntus: Die Reduction der indefiniten binären quadratischen Formen. 209 
ist, usw. Nach einer endlichen Anzahl von Schritten kommt man so 
zu einer Form (a,, b,, a,,.),, worin a,4,,, <0 ist. 
Denn in einer Form (a,b, c), worin ac > 0 und |b| < |a| ist, ist 
b°-4|be|> b’-Alac| >0, also || >4le]. 
Soweit also @,a,,@,,--- dasselbe Zeichen haben, ist 
Ial2]41l>41&]242]5»]>16].]>16|6|>--- 
also |5,|> 4”""|d,| und 0 <4a,a,,, = b,-D<47?"*’b?-D. Wählt 
man m so groß, daß diese Zahl negativ wird, so muß daher a,a,,, 
für einen Wert n < m negativ werden. 
In einer Form 9 = (a, b, c) aber, worin ac <0 ist, it R’—= 5b?’ +4Jae|, 
demnach ist die kleinere der beiden Größen 2|a| oder 2|e|< R. Im 
zweiten Falle sei (a’, b’,c) eine mit p äquivalente Form, worin b’=b 
‚(mod 20) und R>b’>R-2]le| ist. Nach (10) $ ı ist diese Form 
eine reduzierte. Ä 
Zu demselben Ergebnis gelangt man nach Heaurre auf folgendem 
Wege: Sip = £4 = (px +gy) (ra + sy) eine Form der Diskriminante 
D=(ps-gr)’= R’. Die positive Form £?+n?” der Diskriminante 
-4 geht durch die Substitution E=px+qy,n=rx+sy in eine 
Form Y(x,y) der Diskrimininate - A = -4R? über. Soll der Wert 
von U eine gegebene Grenze nicht überschreiten, so müssen die ganzen 
Zahlen x und y unter bestimmten Grenzen liegen. Folglich hat Y 
ein Minimum %, und es gibt eine mit Y äquivalente Form (k,/, m), 
worin |!|< % ist, und weil k das Minimum von WU ist, AS m ist. 
Daher it A= 4km-P?>4% -k”=3%?. Für die Werte von x und 
y, wofür V = k “eine. Dann ist 
2lenl<e+m<yVla, Jal<sfiR<e. 
Daher gibt es eine zu y äquivalente Form (a,b, c), worin || < |a|< R 
ist. Ist aber 5? < R? — b? - 4ac, so ist ac negativ. 
I. In jeder Klasse gibt es eine Form (a,b, c), worin |b| <|a| < |e| 
und mithin ac<O ist. 
Zunächst folgt aus dac<b?’<]ac|, daß ae<0 ist. Da ferner 
(@,b,c) und (e,-b,a) äquivalente Formen sind, so genügt es, in der 
asse X eine Form zu finden, worin |b] <|a@| und |ö|<]e]| ist. Nun 
gibt es in $ eine Form (a,b,-a,), worin a und a, dasselbe Vor- 
zeichen & haben und |öl< ea ist. Sollte nicht zugleich |d|< ea, sein, 
SO genügt der Forderung die benachbarte Form (-.a ,d,,@,), worin 
6,|s ea, ist. Denn es ist 
|d.]<ea, <|d]|<sea<en,. 
