230 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 13. Februar 1913. 
Diese Zahl ist, da u gewiß von 4,,4%,, 4, verschieden ist, nach dem 
früher Bewiesenen größer als 2 + V3. Nun stimmen aber die Ketten- 
brüche für r, und s,in den ersten 2n Teilnennern mit den entsprechen- 
den Kettenbrüchen bei der Form u, überein. Da bei u, die Summe 
dieser Kettenbrüche gleich 2 + V3 , so können wir N so groß wählen, 
daß für alle n> N die Zahl r, + s, in das Intervall2 + V3 <x<g fällt. 
Man kann nach diesem Prinzip sogar noch mehr zeigen. Es sei 
K“) irgendeine Nennerreihe, wie wir sie vorhin beschrieben haben, 
Q die zugehörige Zahl u Ferner sei m eine positive ganze Zahl 
und K® eine zweite Nennerreihe von derselben Art wie X®, die in 
den Zahlen k,, kg," , Aynım mit K® übereinstimmt. Zu KX® gehört 
E. vD | 
wieder eine Minimalform, bei der a die Summe der zugehörigen 
Zahlen r, und s, ist. Da nun die Kettenbrüche für diese Zahlen in 
den ersten 2» + m Teilnennern mit den entsprechenden Kettenbrüchen 
bei der Reihe X) übereinstimmen, so können wir m so groß wählen, 
daß sich r,+s, beliebig wenig von der Zahl Q unterscheidet. 
Betrachtet man also die Gesamtheit aller Minimalformen, so ist nicht 
allein 2 + V3 eine Häufungsstelle der Menge M der zugehörigen Werte 
- ‚ sondern es liegen auch in jedem Intervall rechts von 2 +V3 un- 
endlich viele andere Häufungsstellen von M, die selbst dieser Menge an- 
gehören. 
In den zu den Nennerreihen X“ gehörenden Minimalf: können, 
da diese Reihen nicht periodisch sind, nicht alle Koeffizienten rationale 
Zahlen sein. Will man Minimalformen mit rationalen Koeffizienten 
erhalten, bei denen = sich beliebig wenig von 2 + V3 unterscheidet, 
so betrachte man eine periodische Nennerreihe X mit einer Periode 
der Form 
2n +1 2n +1 
32121---212g1g92 °-qm212 ---1212, 
in der jede der Zahlen g,, 9,, :-, q„ gleich 1 oder gleich 2 ist, aber 
nicht zwei aufeinanderfolgende Zahlen den Wert 1 haben; außerdem soll 
1 Im I = Ja-iy ''’y Im = Yı 
sein. Eine solche Reihe ist, wenn k, = 3 angenommen wird, in bezug 
auf k, symmetrisch, und man schließt ähnlich wie früher, daß auch 
hier r,+s, = 3+ 2s, die größte unter den Zahlen r, + s, ist. Setzt 
man noch a, =1, so wird wieder u = (l,1,-2-a,) eine Minimal- 
