Frosenıus: Über die Markorr’schen Zahlen. 459 
Trotz der außerordentlich merkwürdigen und wichtigen Resultate 
scheinen diese schwierigen Untersuchungen wenig bekannt zu sein. 
Selbst Mınkowskı erwähnt sie nicht bei der Behandlung einer verwand- 
ten Frage (Math. Annalen Bd. 54, 8.92). Meines Wissens ist Hr. Hur- 
wırz (Über eine Aufgabe der unbestimmten Analysis, Archiv der Math. u. 
Phys., Reihe 3, Bd. 11, 8.185), der einzige, der über die Markorrsche 
Gleichung geschrieben hat. Die große, aber bisher wenig benutzte 
Theorie der Reduktion der indefiniten binären quadratischen Formen, 
die LAGrAnGE geschaffen und Gauss vollendet hat, findet in den fol- 
genden Entwicklungen eine weitgehende Anwendung. 
Hr. MArkorr führt die Beweise mit Hilfe der Kettenbrüche. Es 
ist mir gelungen ($ 4), die Eigenschaften der Form g ohne dies Hilfs- 
mittel abzuleiten, aber nicht, zu beweisen, daß die mit den Formen y 
äquivalenten Formen die einzigen sind, wofür YD < 3M ist. Im zweiten 
Teile’meiner Arbeit entwickle ich die explizite Darstellung der MArxorr- 
schen Zahlen p und der zugehörigen Zahlen g und r durch die Teil- 
nenner eines Kettenbruchs. Dabei ergeben sich ($ ı1) merkwürdige 
Beziehungen zu dem von ÜnristorreL geschaffenen Begriff der Cha- 
rakteristik einer rationalen Zahl (Lehrsätze über arithmetische Eigenschaften 
der Irrationalzahlen, Annali di Mat., ser. II, tom. 15, p. 270). 
Ich zitiere diese Arbeit im folgenden mit C., die zweite Arbeit 
des Hrn. Markorr (Math. Annalen, Bd. 17, 8. 379) mit M., die Arbeit 
des Hrn. Hurwrrz mit H., und meine Arbeit (Über die Reduktion der in- 
definiten binären Formen, in diesen Sitzungsber. $.202) mit F. 
$ı. 
Die unbestimmte Gleichung 
(1.) a?+b?+c? — Babe 
nenne ich die Markorrsche Gleichung, jede positive ganze Zahl p, 
die in einer ihrer Lösungen vorkommt, eine MArkorrsche Zahl. 
I. Eine positive ganze Zahl p heißt eine Muarxorrsche Zahl, wenn - p* 
durch die Hauptform der Diskriminante 9p?— 4 dargestellt werden kann. 
Nach dem Vorgange des Hrn. Hurwrrz betrachte ich zunächst 
die allgemeinere Gleichung 
(2.) a?+b?+c? — kabe, 
worin alle Zeichen positive ganze Zahlen bedeuten. 
Je nachdem a gerade oder ungerade ist, ist a? = 0 oder I (mod 4). 
Ist also k gerade, so müssen a,b,c alle gerade sein. Jede andere 
Annahme über ihre Reste (mod 2) führt auf einen Widerspruch. Ist 
aber a = 22,5 — 2’y,c = 2°2, wo x,y,2 nicht alle gerade sind, so 
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