460 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 29. Mai 1913. 
ist 2° + y?’+ 2° = 2"kayz. Da diese Gleichung erfordert, daß x,y,2 
alle gerade sind, so kann demnach % überhaupt nicht gerade sein. 
Je nachdem a durch 3 teilbar ist oder nicht, ist a’ = 0 oder 1 
(mod 3). Ist also k nicht durch 3 teilbar, so müssen a = 3x,b = 3y, 
ce = 32 alle durch 3 teilbar sein. Jede andere Annahme erweist sich 
als unzulässig. Dann ist @’+ y? +2” = 3kayz. 
Nachdem so der Fall k=2 erledigt, und k=1 auf k=3 zu- 
rückgeführt ist, si k>3. Ist b=c, so ist a = bd durch b teilbar 
und d’+2= kbd. Daher ist d= I oder 2, ein Divisor von 2. In 
beiden Fällen 11 a a 1a ET a 
k>3, so können nie zwei der Zahlen a,b,« gleich sein. Für k=3 
will ich die beiden Lösungen 1,1,1 und 2,1,1 singuläre nennen. In 
Jeder andern Lösung sind a,b, c verschieden. Von den zu entwickeln- 
den Resultaten gelten viele fü ir diese beiden Lösungen nicht, was 
ich nicht immer besonders erwähnen werde. 
Hat die Gleichung f(x) = x?+b?’+c-kbex = 0 die beiden 
Wurzeln a und a’, so ist a+a’— kbe,aa’ — b?+c*. Also ist auch 
a‘ eine positive ganze Zahl und a’,b,r eine neue Losung der Glei- 
chung (2.). Hr. Hurwrrz nennt sie ne Lösung a,b, c benachbart. Ist 
a>b>ec, so ist f(b) <3b?- keb’<0. Daher liegt b zwischen den 
beiden Wurzeln a und «a’, es ist in a>b>a’. Nennt man das Pro- 
dukt abe das Gewicht der Lösung a,b,c, so hat demnach die neue 
Lösung ein kleineres Gewicht als die ursprüngliche. Dies Verfahren 
zur Bildung neuer Lösungen von kleinerem Gewicht kann stets fort- 
gesetzt werden, wenn die drei Zahlen der Lösung verschieden sind. 
Folglich kann nicht k>3 sein. Ist aber k—= 3, so muß es schließ- 
lich auf eine singuläre Lösung führen. 
Demnach ist die Gleichung (2.) nur für k— 3 und k = 1 lösbar, 
und der zweite Fall läßt sich durch die Substitution a = 32, = 3%, 
e= 3z auf den ersten zurückführen. 
Drei Zahlen, die der Gleichung (1.) genügen, haben keinen Teiler 
asien (H. S. 194). Denn ist a= da,b=dy,c=dz, so ist 
=°+y’+2° = 3deyz, und mithin d=1. Folglich sind auch je zwei 
der Zahlen a,b, teilerfremd, und die in I. erwähnte Darstellung ist 
immer eine eigentliche. Insbesondere kann höchstens eine von ihnen 
gerade sein. a kann aber nicht durch 4 teilbar sein. Sonst wäre 
D=z3abe=a+b+®=0+1+1 (mod4). Da 
(3.) a+a’— 3be, aa’ — b?+e2 
ist, so muß jede ungerade Primzahl, die in «@ aufgeht, von der Form n 
4n+1 sein. Daraus folgt: ; 
