Frosentus: Über die Markorr'schen Zahlen. 461 
II. Ist p eine Marxorrsche Zahl, so ist entweder p=1 (mod 4) 
oder p= 2 (mod 8). 
Aus den Gleichungen 
a?+(b-c)? = beßa-2), a?+(b+c)? = be(3a +2) 
folgt: 
Il. Ist p eine Marxorrsche Zahl, so ist jeder ungerade Primfaktor 
von p, 3p-2 und 3p +2 von der Form An +1. 
Diese Eigenschaft besitzen aber auch Zalılen, die, wie 37 oder 61, 
keine Markorrsche Zahlen sind. 
Die singuläre Lösung 1,1,1 hat nur eine benachbarte Lösung 
2,1,1. Diese hat außer jener noch eine zweite 5, 2,1. Jede andere 
Lösung @,b,c hat drei verschiedene benachbarte Lösungen (M. S. 397) 
4,0 3,8.% a.0b;e, 
wo 
(4-) a = Bbec-—ö, b' = B3ac-b, ce’ — 3ab-c 
ist. Ist a die größte der drei Zahlen a,b,c, so ist 
a'<a, ee P c>a 
und sogar a’ kleiner als die größere der beiden Zahlen b und e. Von 
den drei mit a,b, c benachbarten Lösungen hat also die eine, a,b,e, 
ein kleineres Gewicht, jede der beiden andern ein größeres. Zu einer 
Lösung L gibt es eine und nur eine benachbarte Lösung L, von kleinerem 
Gewicht, zu dieser wieder eine solche L, usw. Die Reihe dieser Lösungen 
L,L,,L,,--- muß nach den obigen Ausführungen mit 5,2,1 2,1,1 
l,1,1 schließen. Auf dem umgekehrten Wege gelangt man von 1,1,1 
zu jeder Lösung. Will man aber von einer Lösung Z zu Lösungen 
höheren Gewichtes aufsteigen, so kann dies an jeder Stelle auf zwei 
verschiedene Arten geschehen. 
Bei Anwendung dieses Verfahrens auf eine gegebene Lösung p,@, b 
kann man sich die Beschränkung auferlegen, die Zahl p stets festzu- 
halten. Alle Lösungen, die man so erhält, will ich eine Kette von 
Lösungen nennen (vgl. $ 9). Sie ist durch jedes ihrer Glieder völlig 
bestimmt. Sie enthält eine und nur eine Lösung, worin p die größte 
der drei Zahlen ist. Unentschieden ist bis jetzt die Frage, ob einer 
MaArkorsschen Zahl p zwei verschiedene Ketten entsprechen können, 
d. h. ob p in zwei Lösungen p,a,b und p,c,d die größte Zahl 
sein kann. 
Aus (3.) folgt 
(@a— a’)? = 952? _4(b? +c) = 4b! + (b?e?— 4) + 4(b? — 1) (ce? 1). 
Ist a die größte der Zahlen a,b,c, und sind 5b und e nicht beide 1, 
so ist demnach (vgl. (3.)) 
Ss a—a'>2be, 3be>a> 2be. 
