Frosrenıus: Über die Markorr'schen Zahlen. 465 
Umgekehrt folgt aus jenen drei Relationen 
(3.) pı+p3 + (mp -Ppg) = 3pıp |pıg -Pprqı]- 
Aus den Koeffizienten von P, und P, lassen sich die von P be- 
rechnen mittels der Formeln 
(4.) :(p— 3PıPp.) = Pı9Je = Pafı» e(9—-3pı9Q) = Pıra — 9198 » 
Se (9 u 3PaQı) = pr - Is e(r — 3919) = ın-gQrn. 
Man kann sie zu einer Relation zwischen Matrizen zusammenfassen. 
Setzt man 
a we FEB h 
(5.) Br en = ’ I, AEmeR (\ ): 
so ist 
(6.) S = Sı 8 S, = S, 1.5 S, . 
Die zweite erhält man aus der ersten mittels der Gleichung $;' = -S8,. 
Diese Formel ist die wichtigste der ganzen Entwicklung. Die Sub- 
stitution 5°" —= —S lautet 
z = —-gi+rz, t= grı-ry 
y=-pt+g2s, z.=pe-g:- 
Da nun pP = (pr-qy)”’ +y’=y?’+2° ist, so geht P durch die 
Substitution S in sich selbst über. Dagegen geht diese positive Form 
der Diskriminante - 4 durch die Substitution $, in - P+ 3», P,, durch 
np 3 p, P, über. Denn die erste dieser beiden transformierten 
Formen hat, weil pr, -g? =! ist, die Koeffizienten 
pgi -2ggpı + rpi = -p+p (pr -2gqı + rpı), 
-2pqan+2g(g? +rıp)—-2rpgı = 29-29 (prı -2ggı + rPpı)» 
pr! - 2grıgı + rg: A a en (prı - 299 + rpı) . 
Setzt man ferner 
(7.) = mt: 
so geht die Form yz = y(px-qy) durch die Substitution $S in - yz, 
durch 8, in -yz-+ep,P,, durch $, in -—yz-ep,P, über. Da die 
simultane Invariante von P und yz verschwindet, so ist die Dis- 
' kriminante D der Form 
(8.) op = P+3yz = pr? + (3p-2g)xy + (r- 39)? 
gleich der Summe der Diskriminante —4 von P und der Diskriminante 
9p° von 3yz, 
(9.) he DIEDBP-L, 
Diese indefinite Form y = P+3yz geht also durch $ in die Form 
= P-3yz über, die der Form 9 parallel ist, und mithin auch 
