468 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 29. Mai 1913. 
P?+P!i+p S 37, PP,, 
(7:) P®+P+p < 32: PP, 
Pı+Pı+p"<s3p’P,ıP,, 
die letzte Ungleichheit, indem man eine der beiden ersten Formeln 
auf die benachbarte Lösung p,, p,, p anwendet. 
3 5- 
In den Formeln (4.) $ 2 ist p die größte der drei Zahlen p,. Über 
die Reihenfolge von p, und p, und über das Vorzeichen e — +1 kann 
man willkürlich verfügen. Wenn man gleichzeitig p, mit p, vertauscht 
und e dureh -e ersetzt, bleiben die Formeln ungeändert. Nimmt man 
aber nur eine dieser beiden Änderungen vor, so geht q in p-g über, 
r inr-29+p, und y in die Form (p,p+2g, g-+r-?2p), die der 
Form g uneigentlich äquivalent ist. Von den beiden Zahlen g und 
p-g ist die eine <, die andre > . Ich wälle von jetzt an die 
’ a 1 N 
Reihenfolge p,, p, und das Vorzeichen & so, daß 1-58 wird. Dann 
kann man immer noch eine jener beiden F estsetzungen willkürlich 
treffen, die andre aber ist dadurch mitbestimmt. 
Die Zahl q ist positiv, und +g ist der absolut kleinste Rest von 
I - (mod p). Geht man mit Festhaltung von p zu einer be- 
“ R 
— oder 
Pa 
Hal hkian Lösung p,p,, p, über, so ist p, = 3pp,-p,. Daher bleibt 
ver (mod p), abgesehen vom Vorzeichen, ungeändert, wenn man p, dureh 
p, ersetzt. Wiederholt man («dies Verfahren, immer mit Festhaltung von 
P, beliebig oft, und gelangt man so zu der Lösung p, p,, P,.+,, 80 Ist 
+g auch der absolut kleinste Rest von —#*- (mod p). Sollte es für | 
Pr+1 
eine Zahl p mehrere Ketten geben, so würden ihr auch mehrere Lösun- 
gen q der Kongruenz g9’=-1 (mod p) en 
Nun ist p9, = qpı +. < „pp +m <Zppı +, 3, el 
Also ist 2n<p+,., und mithin ist auch 29q,<p, zur p und 
teilerfremde Zahlen sind). Ebenso ist 29,<p,. Ist dagegen q> —p a 
so ist Ph> SPP -P,> >ZPp-2-, und mithin 29,>Pp,, 29% > Pr: 
Da p das Minimum der For p(2,Y) = (p, 3p-29, r-3g) ib 
so ist -p(0,1)=3g9-r>p, also 
(1.) p<äg-r, 
um so mehr p<3g, also weil pr-g’— I ist, 
