FrRoBEntvs: Über die Marxorr’schen Zahlen. 469 
(2.) 29 <p<3g. 2r<y<öär. 
Ferner ist nicht (5, —2)>p. Denn sonst wäre 2 (p-2g9)+(p-2r)<V. 
Daher ist (5, -2)<-p oder 
(3-) p>24+r. 
Für die MArkorrschen Zahlen p, für die p, = l ist, und die ich in $ 8 
mit ?,, bezeichnen werde, und nur für diese ist p = 39-r. Ebenso 
istp=2g-+r nur für die Zahlen p = p,,, für die p, = 2 ist. Elimi- 
niert man aus diesen Ungleichheiten r mit Hilfe der Gleichung pr - g’=1, 
so erhält man | 
Ei ar 
(4.) er le 
>ı1+PY2, 
; & ( se 
und zwischen denselben Grenzen liegt . ‚ außer für p = p,,, Wo zwar 
z <I+ Y2, aber 
12 no +YV2 ist. Allgemeiner ist 
urpAr > Pot 
wie man aus (12.) $ 2 durch Induktion erkennt. Die in Formel (4.) 
angegebenen Schranken können nach (18.) $9 nicht durch engere er- 
setzt werden. 
Die Form g ist der Form 
(5.) (pP -29,-(2p +9-n)) 
äquivalent (parallel). Eine solehe Form & = (a, b, - «), worin a, b;6 
positiv sind, <a ist, und a die kleinste durch Y darstellbare Zahl 
ist, hat Hr. Schur (diese Sitzungsber. S. 214) eine Minimalform genannt. 
In jeder solehen Form ist 
(6.) c>2a+b, 
und demnach ist 39 >p-+r. 
8 6. 
Einen geordneten Komplex a,a,-- - a, von Größen oder Symbolen will 
ich mit einem Buchstaben A bezeichnen (Jon. Bernovrui, Recueil pour 
les astronomes, tome I, M. $6, S. 386, 0.S.265). Ist B= bs 6, 
SO bezeichne ich den Komplex a,a,--- a,b,b,---b, mit AB. Für diese 
Aneinanderreihung geordneter Komplexe gilt das assoziative Gesetz 
(ABC — A(BC), aber nicht notwendig das kommutative Gesetz AB 
= BA. Auf Grund des assoziativen Gesetzes ist der Sinn des Zeichens 
4’! = AAAA eindeutig bestimmt, ebenso der des Zeichens A®B*C?---. 
Ist a eine einzelne Größe, so bezeichne ich den Komplex aaaa mit (a)', 
oder auch, wenn jede Mißdeutung ausgeschlossen ist, mit @', um die 
Häufung von Klammern zu vermeiden. Den Komplex a,a,_, + @, nenne 
