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Frosenıus: Über die MaArkorr’schen Zahlen. 475 
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muß die Form 4 = haben, und jede solche Substitution liefert 
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nach $ 3 ein konjugiertes Tripel p,,9,,r 
Für die quadratische Form y = g,, ist es von rag ob 
p=P,, gerade oder ungerade ist. Darüber gilt der Satz: 
VIH. Die Marxorrsche Zahl p,, ist stets und nur dann uk 
wenn x durch 3 teilbar ist. 
Sei (B,ß')>(y,y). Ist dann aß’-a’ß=: (= +1), so ist 
ay-ay=-e, ad -ad—=2e Istn=|y-|, "= |y-|, so ist 
weiter u -a@a’n—= +3. Ist a durch 3 teilbar, so ist es auch », aber 
nicht 8,y,d. Wir können es daher schon als bewiesen ansehen, 
daßBb=p,, e= p,, und d= p,,. ungerade sind, aber e = p,,. ge- 
rade ist. Dann ist a — 3be-d gerade. Ist umgekehrt a gerade, so 
sind 5, c und d = 3bc-a ungerade, dagegen e = 3cd-b gerade. Folg- 
lieh ist 4 durch 3 teilbar und mithin auch a. 
Ist aß -@ 8 = +1unda>a’,soistauch >’. Daraus folgt: 
man nehme. zu einer Marxorrschen Zahl p,, eine konjugierte Zahl, 
dazu wieder eine konjugierte Zahl usw., bis man zu p,, kommt. Ver- 
meidet man dabei die Zahlen p,; ?, und ?,,, So muß, wenn x»>A 
ist, auch u >v sein. In der $ ı konstruierten Reihe von Lösungen 
ı,2,,--- kommen also nur solche Markorrsche Zahlen p,, vor, 
oki “x >A ist, oder nur solche, worinx <A ist. 
$ 9 | 
Seien «,8,y, ö vier positive Zahlen, die der Bedingung ad- Ay 
= #1 genügen. Sei x eine positive oder negative Zahl und 
. Pa = Pan+3ıyr+Sd» 
also 7, — ps, P = Po —= P.g. Dann sind P,P,,P.,. konjugierte Zah- 
len, und es ist P.ı=P.-ı. Daher ist nach (7.) und (4.), n 
(1.) Pat maı-m—Pp° 
und 
(2.)' Parı = 3P Pa Pr-t- 
Ist nun D — Ip’ -4 und 
A} 
—ı +u, Dr (3 8 +Vor- 9) - 
also 4, — el, hei, u 1, so genügen die Zahlen Z, und u, 
| derselben Rekhrsionsfornel (2), wie p,. Mithin besteht zwischen ihnen 
“: | eine lineare Gleichung 
3.) 2m. = pt in _ vu U. 
