Frosenius: Über die Markorr’schen Zahlen. 485 
der Diskriminante 9(p—-g)’-+ 4 äquivalent der Minimalform 
(5.) (P-9n,-(p+9g))- 
Den Nachweis zu führen, daß p-g die kleinste durch Y darstellbare 
Zahl ist, ist mir nicht in so einfacher Weise gelungen, wie ich in 
$4 das entsprechende Problem für die Form p gelöst habe. Daß % 
mit -—V äquivalent ist, ist aus (4.) unmittelbar ersichtlich. Die Zahlen 
t=3(p-g), w=1 bilden die kleinste positive Lösung der Gleichung 
r-DW =-4. 
Besitzt diese Gleichung für eine Diskriminante D eine Lösung, 
so hat die Periode X der Kettenbruchnenner für jede reduzierte Form 
Y=(a,b,-a,) die Gestalt K=k,...k,k,-.-k, wo n— 2m-I un- 
gerade ist. Dann ist (vgl. (3.) $ 7) 
6 > (t-bu) = [ku] = p-2g, au—=[h--k]=p-9, 
} au = [ke kn] = p-9, ZH bu) = Ik k]l=2p-4. 
Daher ist 
ee = Zune =REhEeR 
also A, — k,,,_, und = k,= 2, demnach 
—-- ße hal: 
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Dieser Kettenbruch, dessen Gliederzahl n + 1 gerade ist, muß nach dem 
Satze VI,$ 6, symmetrisch sein. Mithin ist, = 1, %,,, = kurı-ı, also 
k=h=..- k,-,=1. Folglich ist 
= jet) = u), p-9 = [r] = mr, = Wu. 
Unter Benutzung der Bezeichnung (7.)$ 7 ist daher a = a, = [l"| und 
6, = Eee 2 271 > ee 2] ar 
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Unter den Zahlen a, befinden sich aber (F. $ 5, III) alle durch V dar- 
stellbaren Zahlen, die < —VD sind. Mithin ist a = p-q die kleinste 
Zahl, die durch p dargestellt werden kann. 
| Ist die Gleichung £?- Du? — -4 lösbar, und ist U mit -Y äqui- 
- valent, so ist die Klasse von \ eine zweiseitige; denn von diesen drei 
-  Symmetrien, die eine Form X besitzen kann, ist jede eine Folge der 
