472 Gesamtsitzung vom 30. Mai 1918. — Mitteilung vom 2. Mai 
(Sie läßt sich hier natürlich nieht als Linie kürzester Länge charak- 
terisieren, da der Begriff der Kurvenlänge ohne Sinn ist.) b) Tensor- 
kalkül. Um z.B. aus einem kovarianten Tensorfeld ı. Stufe vom 
Gewiehte 0 mit den Komponenten /; durch Differentiation ein Tensor- 
feld 2. Stufe herzuleiten, nehmen wir einen willkürlicehen Vektor Z° im 
"Punkte P zu Hilfe, bilden die Invariante /;Z und ihre unendlich kleine 
Änderung beim Übergang vom Punkte P mit den Koordinaten x; zum 
Nachbarpunkte P’ mit den Koordinaten «,+ d,, indem wir bei diesem 
Übergang den Vektor £ parallel mit sich verschieben. Es kommt für 
diese Änderung 
= Z'da, Hd — (32 tu) E'da,. 
Die auf der rechten Seite eingeklammerten Größen sind also die Kom- 
ponenten eines Tensorfeldes 2. Stufe vom Gewichte o, das in völlig 
invarianter Weise aus dem Felde f gebildet ist. ec) Krümmung. Um 
das Analogon des Rırmansschen Krümmungstensors zu konstruieren, 
knüpfe man an die oben benutzte unendlich kleine Parallelogramm- 
figur an, bestehend aus den Punkten P, P,, P, und P,= P.,.. Ver 
schiebt man einen Vektor x = (£‘) in P parallel mit eh nach Pp und 
von da nach P,,, ein andermal zunächst nach P, und von da nach Ps 
* 
so hat es einen Sinn, da P,, und P,, zusammenfallen, die Differenz AL 
der beiden in diesem Punkte erhaltenen Vektoren zu bilden. Für ihre 
Komponenten ergibt sieh 
(12) Ar RiF, 
wo die R’,; unabhängig sind von dem verschobenen Vektor {, hin- 
gegen linear abhängen von dem Flächenelement, das durch die beiden 
erwiren PP = (da), PP, = ‚0m aufgespannt wird: 
R= == - Riuda,da, = + Rind: 
Dr, nur von der Stelle ? abhängigen Krümmungskomponenten Ri 
haben die beid« ft 1. sie ändern ihr Vorzeichen 
dureh Vertauschung der beiden letzten Indizes k und /; 2. nimmt 
‚man mit Jkl die drei zyklischen Vertauschungen vor und addiert die 
mugehörigen Komponenten, so ergibt sich ©. Ziehen wir den Index 2 
herunter, so erhalten wir in R,;., die Komponenten eines kovarianten 
 "Tensors 4. Stufe ‚vom Gewichte 1. Noch ohne Ausrechnung ergibt 
‚sich durch eine einfache Überlegung, daß R auf natürliche invariante 
Weise in zwei  Summanden Be 
