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Frogenivs: Über einen Satz von ('ARATHEODORY. 23 
positiv (> 0). Wenn daher eine Hauptunterdeterminante C von A, 
verschwindet, so verschwindet auch jede Hauptunterdeterminante B, 
die € enthält. Denn sonst wäre B die Determinante einer positiven 
Form, und als Hauptunterdeterminante von B wäre U >0. Ist also 
Ayo ... 777 
A :52 5 2 74, 
RS PR do 
so ist in der Reihe der Determinanten A,,ÄA,,--- A„, deren letzte 
Null ist, eine gewisse Anzahl n der ersten von Null verschieden, 
während alle folgenden verschwinden. Den Fall n = 0, wo die Größen 
a, sämtlich Null sind, schließe ich aus. Insbesondere ist A, = 0 und 
A,_, die Determinante einer positiven Form. 
Dann will ich, und zwar nur aus Determinantenrelationen, zeigen, 
daß n der Rang der Determinante A, ist. Dazu genügt es, nach einem 
Satze von Kroxecker nachzuweisen, daß die Überdeterminanten (n+ |) ten 
Grades von A,_, 
nee u a, 
3 
G-nar41::°°° ur) Ar—n+ı 
QÜ_s A_s+n-ı Ar—s 
sämtlich verschwinden. Ich zeige dies zunächst für die Determinanten 
D,.= D,. Nach Voraussetzung ist D, = A, = 0. Bei dem Beweise 
dafür, daß D, = 0 ist, kann ich daher die Gleichung D,_, = 0 schon 
als bewiesen ansehen. Nun verschwindet die Determinante 
dog 4ı ee An A; 
4-1 Ao es An-ı d,-ı 
G_n 4-41 N Ao ER 
Ar A_r+1 nn A-r+n do 
als Überdeterminante von D,. Den 4 in den Ecken stehenden Ele- 
menten seien komplementär die Determinanten (n+ l)ten Grades 
2, 8 
c I, 
Dann ist D,_,=0,D,=0,D,_,‚D,-BC=0,BC =, und folglich, 
weil B und € konjugiert komplex sind, B= (= 0. Die Determi- 
nante nten Grades A,_,, die nach Streichung der ersten und der 
letzten Zeile und Spalte übrigbleibt, ist von Null verschieden, ihre 
4 Überdeterminanten (n-+1)ten Grades verschwinden. Daher ver- 
schwinden alle Unterdeterminanten (rn + l)ten FREIEN, und mithin ist 
2 =0, 
