24 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 11. Januar 1912. 
Die Determinante (nr + 2)ten Grades 
Ayo An-ı a, a; 
Ü_y+ı do Ar_n+ı As-u+1 
d_, A_r+n-1 Ao As-r 
A_; A_s+n-1 Ars do 
verschwindet als Überdeterminante von D.. Den 4 letzten Elementen 
sind komplementär die Unterdeterminanten 
I: =D; 
“BB... DD. 
Daher ist D,D,-D,,D,, = 0 und folglich D,, =D. 
Daß n der Rang von A, ist, kann man auch so einsehen: Aus 
D,= 0 ergibt sich, wie eben, daß auch D,.= 0 ist. Setzt man der 
Reihenahr =n+1,n+2 ‚"'*, So findet man aus dieser Gleichung 
Qn+1>@,42,°'* Wenn nämlich diese Größen schon bis a,_, bestimmt 
sind, so ist D,,— 0 eine lineare Gleichung für a,, worin der Koef- 
fizient Q von a, nicht Null ist. Denn sind in der Determinante A, — 0 
den 4 in den Ecken stehenden Elementen die Unterdeterminanten 
An-ı Q 
R Au 
komplementär, so ist QR= A? ,, und mithin ist Q von Null ver- 
schieden. 
. Da A,_, die Determinante einer positiven Form und A, — 0 ist, 
so kann man nach $ 2 n positive Tensoren rı,T,, + r, und 2 ver 
schiedene Versoren 2,4 bestimmen, daß für A — 0 De 
u, _eng+--- + re 
wird. Setzt man dann für ?— 0,1 m, -Ll,:..oMm 
Kent mer, 
so hat die Matrix Ä 
i en (x, % => 0,1,.-.m) 
den Rang n, und daher verschwinden die Determinanten (n+I)ten 
Grades, die den Determinanten D,. aus den Elementen a,_, analog 
sind. Da aber 5, = ee auch u 
Gun, 770 = aus, Mithin. ist.u:.der Rang der Matrix. A... Damit ist 
. zugleich der Cararmoporxsche Satz auch. für den Fallm>n+ I be- 
wiesen. 2 Ä 
