I. Scuur: Über einen Satz von Ü. CARATHEODORY. 5 
beginnt. Ist insbesondere u(a,,a,,'-",a,) = 1, so gibt es nur eine Funk- 
tion f(2), die den beiden genannten Bedingungen genügt. 
Hr. Cararn£oporv beweist diesen Satz in eleganter Weise auf 
geometrischem Wege durch Betrachtung des kleinsten konvexen Kör- 
pers K,, im 2n-dimensionalen Raume, der die Kurve 
x se rey, ae W—=1,2,..,") 
enthält. Daß die Bedingung (1.) für die Existenz einer Funktion f(2) 
von der verlangten Art notwendig ist, hat Hr. Torruırz in sehr ein- 
facher Weise direkt bewiesen und ebenso den umgekehrten Satz: ge- 
nügen die Koeffizienten @,,@,,--- einer gegebenen Potenzreihe 
Su). = taste + 
für jedes n der Bedingung (1.), so ist die Reihe für |2| < I konvergent 
und ihr reeller Teil positiv. Dieses schöne Resultat beweist Hr. CarA- 
THEODORY (R., Abschnitt IV) mit Hilfe des Satzes I. Einen algebraischen 
Beweis dieser Sätze verdankt man Hrn. E. Fıscher'. 
Eine genauere Betrachtung des Cararn£oporyschen Beweises für 
den Satz I läßt aber erkennen, daß es in erster Linie darauf ankommt, 
folgenden rein algebraischen Satz zu beweisen, den Hr. CARATHEODORY 
(R., Abschnitt II) auch ausdrücklich angibt: 
II. Sind a,,a,,:--,a, beliebige reelle oder komplexe Größen, so lassen 
sich auf eine und nur eine Weise höchstens n voneinander verschiedene 
Größen &,,&,,*'',&, vom absoluten Betrage T und ebensoviele reelle posi- 
tive Zahlen r,,r,,*'-,r, bestimmen, die den n Gleichungen 
(2.) Ba nsrnst +96 I 1,2, 00} 
genügen. 
Setzt man, wenn a_, (wie oben) die zu a, konjugiert komplexe Größe 
bedeutet, 
7, a; REITEN a 
D(e,a,:--,%) = eis X, Be re 
| Bin: Biss Diwam Yin oc 
so ist 
(3-) a ee a 
eindeutig bestimmt als die größte unter den (sämtlich Kens Wurzeln der 
Gleichung 
(4.) Ds = 0. 
ı Über das Cararnkoporrsche Problem, Potenzreihen mit positivem reellen Teil be- 
treffend, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. XXXI (1g11), S. 240—256. 
