456 Sitzung der physikalisch ischen Classe vom 23. Mai 1912. 
Über Matrizen aus nicht negativen Elementen. 
Von G. FRoBEntus. 
In meinen Arbeiten Über Matrizen aus positiven Elementen, Sitzungs- 
berichte 1908 und 1909, die ich hier mit P. M. zitieren werde, habe 
ich die Eigenschaften der positiven Matrizen entwickelt und durch 
Grenzbetrachtungen mit den nötigen Modifikationen auf nicht negative 
übertragen. Die letzteren aber erfordern eine weit eingehendere Un- 
tersuchung, worauf ich durch die in $ ıı behandelte Aufgabe ge- 
kommen bin. 
Eine nicht negative Matrix A, die unzerlegbar ist, hat fast alle 
Eigenschaften mit den positiven Matrizen gemeinsam ($ 5). Nur 
wenn r die größte positive Wurzel oder Maximalwurzel ihrer charak- 
teristischen Gleichung p(s) = 0 ist, kann der absolute Betrag einer 
andern Wurzel zwar nie >r, wohl aber = r sein. Jede der k Wur- 
zeln r,r’,r”,.--, die absolut gleich r sind, ist einfach, und ihre Ver- 
hältnisse, 1,Z, Z, + sind die k Wurzeln der Gleichung r* = 1. 
Ist k= 1, so nenne ich die Matrix A primitiv, ist k>1, im- 
primitiv. Jede Potenz einer primitiven Matrix ist wieder primitiv, 
eine gewisse Potenz und jede folgende ist positiv. 
Ist A imprimitiv, so besteht A” aus d unzerlegbaren Teilen, wo 
d der größte gemeinsame Divisor von m und k ist, und zwar zerfällt 
A” vollständig. Die charakteristischen Funktionen der Teilmatrizen 
unterscheiden sich nur durch Potenzen von s untereinander. 
Die Matrix A* ist die niedrigste Potenz von A, deren unzerleg- 
bare Teile alle primitiv sind. Die Anzahl dieser Teile ist dem Ex- 
ponenten % gleich. Ist 
Yls) = Ss" +as” + as"? +... +0, 
die charakteristische Funktion eines dieser k Teile, so ist 
pls) = Ss" + ask agsn-2tr ... Haysmk — sr-mkuy(sk) 
die von A. Die Maximalwurzel r‘ der Gleichung &(s) = 0 ist ab- 
solut größer als jede andere Wurzel. 
