Fropenıus: Über Matrizen aus nicht negativen Elementen. 457 
In $ ıı dehne ich die Untersuchung auf zerlegbare Matrizen aus, 
und in $ ı2 zeige ich, daß eine solche nur auf eine Art in unzer- 
legbare Teile zerfällt werden kann. Dabei ergibt sich der merkwür- 
dige Determinantensatz: 
I. Die Elemente einer Determinante nten Grades seien n’ unabhängige 
Veränderliche. Man setze einige derselben Null, doch so, daß die Deter- 
minanle nicht identisch verschwindet. Dann bleibt sie eine irreduzible Funk- 
tion, außer wenn für einen Wert m<n alle Elemente verschwinden, die 
m Zeilen mit n-m Spalten gemeinsam haben. 
8.1: 
Ist die Matrix nten Grades A>0, und ist g„ (m<n) die Maxi- 
malwurzel der Gleichung 
—4ı +8 + — Am 
Ale el, 
— Am “ —Ammt Ss 
sit <g<--<q=r(P.M.$ı). Ist A nicht negativ, so ergibt 
sich auf demselben Wege durch eine Grenzbetrachtung, daß 
n<pSs.. Ssyw=r 
ist. Daraus folgt, falls AZ0 und r die Maximalwurzel von A ist: 
I. Wenn eine Hauptunterdeterminante P(s) von A(s) fürs = r ver- 
schwindet, so verschwinden auch alle Hauptunterdeterminanten von A(r), 
die P(r) enthalten. Ist aber P(r)>0, so sind auch alle Hauptunterdeter- 
minanten jeden Grades von P(r) positiv. 
Ist A>0, so haben die n linearen Gleichungen 
(1.) Aatıt + Anka = TE, «=1,2,.n) 
nur eine Lösung, falls man von einem gemeinsamen Faktor absieht, 
und diesen kann man so wählen, daß die Werte der Unbekannten 
alle positiv werden. Aber auch wenn A20 ist, kann man diesen 
Gleichungen immer durch Werte genügen, die alle nicht negativ, und 
nicht alle Null sind. Denn da ihre Determinante A(r) = 0 ist, so 
ist eine dieser Gleichungen, etwa die te, eine Folge der n-1 andern, 
und kann daher weggelassen werden. Die übrig bleibenden seien 
(vgl. P.M. $ ı) 
-(agg—r)a9— +" —ag,T, = Apala, 
4,828 - —- (a, —r)z, = Gala- 
Ist B(r) ihre Determinante und g die Maximalwurzel der Glei- 
chung B(s)=0, so ist g£r. It g=[tr, also B(r)= 0, so setze 
man &,.—= 0. Dann erhält man n—1 homogene lineare Gleichungen 
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