458 Sitzung der physikalisch h ischen Classe vom 23. Mai 1912. 
zwischen den n -1 Unbekannten %;, x, von derselben Beschaffen- 
heit wie die n Gleichungen (r.). Da ihre Anzahl nur n-1 ist, so 
kann man annehmen, daß für sie die Behauptung bereits bewiesen ist. 
Ist aber g<r, so ist nicht nur die Determinante Bir) >0, 
sondern es sind auch, wie eine Grenzbetrachtung zeigt, ihre Unter- 
determinanten B,,(r)=0. Setzt man dann x, —=1, so wird 
B(r)xs =,y Be+(r)a;a, --- B(r)2, — > B,.(r)a;,. 
Mithin ist 2520,---2,20 und x,>0. i 
8.2. 
Eine Matrix oder Determinante des Grades p + q nenne ich zer- 
‚fallend oder zerlegbar, wenn darin alle Elemente verschwinden, welche 
p Zeilen mit den q Spalten gemeinsam haben, deren Indizes den Indizes 
der p Zeilen komplementär sind (sie zu 1,2,---p+9g ergänzen). 
Unter den pg Elementen, deren Verschwinden die Zerlegbarkeit der 
Matrix bedingt, kommt also kein Hauptelement a,, vor. Sei z.B. 
ER 
4=(v.g). 
seien P und Q Matrizen der Grade p und g, V eine Matrix von 
p Zeilen und g Spalten, U eine Matrix von q Zeilen und p Spalten. 
Dann zerfällt A in die komplementären Teile P und Q, wenn U=0 
oder V=0ist. It U=0und V= 0, so heißt A vollständig zerlegbar. 
Dasselbe gilt, wenn A erst nach einer Umstellung der Zeilen 
und der entsprechenden Umstellung der Spalten auf jene Form gebracht 
werden kann. Eine solche kogrediente Permutation der Zeilen und 
Spalten, wobei die Hauptelemente nur unter sich vertauscht werden und 
konjugierte Elemente konjugiert bleiben, ist im folgenden immer ge- 
meint, wo von einer Umstellung der Reihen einer Matrix gesprochen wird. 
Jeder der beiden Teik oder Teilmatrizen kann weiter zerlegbar 
sein. So zerfällt die Matrix der Determinante 
a, 
(1.) vg v|=|PIjo||R| 
WEOER 
in die 3 Teile P,Q und 2, die verschwindenden Matrizen können 
in jedem der weiter zerlegbaren Teile beliebig links oder rechts von 
der Diagonale stehen. Durch Umstellung der Reihen kann man die 
Matrix auf die Formen 
Pon ovv 
WERD VER W 
io, e.0,Pp 
