Frogenivs: Über Matrizen aus nicht negativen Elementen. 459 
bringen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man daher in 
die Definition der Zerlegbarkeit die Bedi gung aufneh ‚ daß die 
Elemente, deren Verschwinden das Zerfallen der Matrix bedingt, alle 
rechts von der Diagonale stehen, oder alle links. 
Ist A, wie stets im folgenden, eine nicht negative Matrix, und 
zerfällt die Determinante A(s) in die Teile P(s), Q(e), R(s), --:, so 
muß einer dieser Faktoren, also eine Hauptunterdeterminante von A(s) 
für s=r verschwinden. Umgekehrt gilt der Satz: 
II. Wenn eine Hauptunterdeterminante P von A(r) verschwindet, so 
zerfällt A(r). Wenn außerdem keine Hauptunterdeterminante von P ver- 
schwindet, so ist P einer der unzerlegbaren Teile von A(r). 
Sei P= A,(r), seien P,(x,A=1,2,--- m) die Unterdetermi- 
nanten (m-1)ten Grades von P, sei stets P,>0. It P= 0, so ist 
P,D.— PD, also nicht 2, 0, und mithin DD, 
Daher kann man den m linearen Gleichungen 
GuYyıt + Onulm = ty «=1,2,-.-m) 
durch Werte genügen, die alle positiv sind. Ist Y eine Matrix von 
nur einer Zeile y,,%,,---y„, so kann man diese Gleichungen in der 
Gestalt YP = 0 schreiben, wo jetzt P die Matrix der Determinante 
A,„(r) bezeichnet. Ebenso kann man die n Gleichungen 
{1.) Aatıt Fa = TI, («=1,2,..n) 
in der Gestalt AX—=rX schreiben, falls X eine Matrix von nur einer 
Spalte ist, worin die n nicht negativen Größen z,,%,,--- x, unter- 
einander stehen. Wir teilen X in U und Z, wo U die Größen Die, 
Z die Größen x,,,,:--x, enthält. Ist 
PL 
rE-A= ( M o, 
so nehmen die Gleichungen (1.) die Gestalt 
PU+LZ=E, 
MU+NZ=0 
an. Dann ist Y(PU+LZ)= 0, also weil YP= 0 ist, F(LZ) = 0, 
und da Y>0 und LZ=0 ist, LZ=0, mithin auch PU=0. 
Sind @,,,,:-- x, alle positiv, ist also Z>0, so ist L= 0, da 
die Elemente von L alle negativ oder Null sind. (Das letztere gilt 
auch von M, aber nicht von den Diagonalmatrizen P und N.) 
Sind dagegen x,,,,---x, alle Null, ist also Z= 0, so sind 
7%. nieht alle Null und genügen der Gleichung PU=0. Da 
