Frosentus: Über Matrizen aus nicht negativen Elementen. 461 
Die adjungierte Matrix B von rE-A ist also positiv. Daraus 
ergibt sich ein Satz, der dem Satze von Maschke in der Gruppen- 
theorie analog ist. Ist nämlich 
r = ee, 
so ist 
(1.) B=o(r,A) 
eine ganze Funktion von A, eine lineare Verbindung von A’, A', .-- A". 
Die Elemente von A” seien aA. 
IV. In einer unzerlegbaren Matrix können bei keiner Wahl der In- 
dizes die n Größen 
a, aa at) 
sämtlich verschwinden (kann nicht identisch A.s(s) = 0 sein). 
Denn sonst wäre auch das Element b,; = 0, während doch 
ba = A.s(r) >V ist. In einer zerlegbaren Matrix kann man aber 
a und 8 so wählen, daß a für jeden Wert von % verschwindet 
(daß also A,„.(s) identisch verschwindet). Denn ist 
oe): 
8 
Ar — ( 10 E 
Jeder der unzerlegbaren Teile P(s), Q(s), R(s),--- von A(s), 
der für s—= r Null wird, verschwindet nur von der ersten Ordnung. 
Daraus folgt: 
V. Damit die Maximalwurzel r der Gleichung A(s) = U eine k fache 
sei, ist notwendig und hinreichend, daß von den unzerlegbaren Teilen von 
A(s) genau k für s = r verschwinden. 
so ist 
Daraus schließt man leicht: 
VI. Ist die Maximalwurzel r der Gleichung A(s) = 0 eine mehr- 
fache, so ist sie entweder gleich dem größten der Hauptelemente a,., oder 
in jeder Hauptunterdeterminante (n—1) ten Grades verschwindet für s—= r 
eine Hauptunterdeterminante (n— 2) ten Grades. 
Ist insbesondere r = 0, so verschwinden die Hauptunterdeter- 
minanten jeden Grades von A, und daher zerfällt A in n Teile ersten 
Grades. Ist z.B. n=4, so kann jede Matrix vierten Grades durch 
Umstellung der Reihen auf die Form 
an 
= 
8 
& 
3 
o 
290000 
