462 Sitzung der physikalisch h ischen Classe vom 23. Mai 1912. 
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gebracht werden, wenn alle zyklischen Produkte 
Goa = 0, Asp = 0, Auglp,Aya = 0, AupApyAyslza = 0 
sind. 
$5- 
Ist q die Maximalwurzel der Gleichung A,.(s) = 0, so ist g<r. 
Ist also s>r, so ist auch s>g und mithin ist A..(s)>0. Hat p 
dieselbe Bedeutung wie in P.M. $ı, so gilt der Satz: 
VI. Wenn A.s(s) (=) für einen Wert s>r (oder auch nur 
s>p) Null ist, so verschwindet A„s(8) identisch. 
Denn sei s,>p ein solcher Wert. Da für alle benachbarten 
Werte A,s(s)>0 ist, so verschwindet auch die Ableitung A/,,(s) für 
s=s,. Nun ist aber 
U —Aay Ga, 
a au, +8 >= 
-Assls) = de PT ER 
a6 —4,, a, +8 
Daher ist A/,(s) eine Summe von n-2 Determinanten (n- 2) ten 
Grades, A,(s) + --- + A,(s), die zu den Hauptunterdeterminanten 
A,,(8),--- A,,(s) in derselben Beziehung stehen wie A,s(s) zu A(s). 
Hat p, für A,,(s) dieselbe Bedeutung wie p für A(s), so ist P,<p- 
Ist also s>p, so ist auch s>p,. Folglich ist A,(s)=20, und mit- 
hin verschwindet für s— s, jede der Determinanten A,(s),--- A,(s), 
und zwar jede nebst ihrer Ableitung. So erkennt man, daß alle 
Ableitungen von A,s(s) fürs=s, verschwinden, und mithin ver- 
schwindet diese Funktion identisch. 
Nun ist aber 
A)CLe) = Acals) Aga(s) - Ausls) Aca(s). 
Ist also identisch Aas(s) = 0, oder ist auch nur A.s(r) = 0, so ver- 
schwindet eine der beiden Größen A..(r) oder A,;(r), und mithin 
ist A zerlegbar. 
VII. Ist A unzerlegbar, so sind die Unterdeterminanten A,s(s) für 
‚jeden Wert s=r positiv. 
Eine nicht negative unzerlegbare Matrix besitzt demnach die meisten 
Eigenschaften einer positiven Matrix: Die Maximalwurzel r der Glei- 
chung A(s) = 0 ist einfach, die Unterdeterminanten (n-1)ten Grades 
und die Hauptunterdeterminanten jeden Grades von A(s) sind positiv, 
falls s2r ist. 
Ist aber r’ irgendeine von r verschiedene Wurzel, so ist stets 
r2|r’|, aber nicht notwendig r >|r’|. Eine unzerlegbare nicht nega- 
