Frosenıvs: Über Matrizen aus nicht negativen Elementen. 463 
tive Matrix nenne ich primitiv, wenn ihre Maximalwurzel absolut größer 
ist als jede andre Wurzel, imprimitiv, wenn sie dem absoluten Betrage 
einer andern Wurzel gleich ist. 
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IX. Von jeder primitiven Matrix ist eine Potenz positiv. Ist AP die 
niedrigste, so sind es auch alle folgenden Art‘, Art? ... Umgekehrt ist 
eine Matrix primitiv, wenn eine ihrer Potenzen ‚positiv ist. 
Ist A” positiv, so ist A unzerlegbar. Sonst wäre auch jede Po- 
tenz von A zerlegbar und enthielte verschwindende Elemente. Ferner 
ist stets r?>|r”|, und mithin r>|r’|. Folglich ist A primitiv. 
Diese Bemerkung hat schon Hr. Prrrov am Schluß seiner Arbeit ge- 
macht. 
Ist P irgendeine positive Matrix, und A eine ünzerlegbare, so 
ist auch PA=Q positiv. Denn wäre (= > Par Q,; = 0, so wäre 
94g=''=qa,,=(, also A zerlegbar. Daher ist auch QA= PA: 
positiv usw. 
Hat umgekehrt A eine einfache Wurzel r, die absolut größer ist 
als jede andere Wurzel r’, so ist (P. M. $ 3) 
lim ana u Aus(r) 
r e'(r) 
Ist A unzerlegbar, so ist nach Satz VIII der Grenzwert positiv, mithin 
muß auch, falls k eine gewisse Grenze überschreitet, für je zwei In- 
dizes a >0, also A!>0 sein. 
Da hier aber Grenzbetrachtungen benutzt sind, so werde ich von 
diesem Ergebnis nicht eher Gebrauch machen, bis ich es auch alge- 
braisch bewiesen habe. 
X. In einer imprimitiven Matrix sind die Hauptelemente sämtlich Null, 
Jedes Element a{}) von A* ist eine Summe von Produkten nicht 
negativer Größen, also positiv, sobald eins dieser Produkte positiv 
ist. Ist a, >0, so ist auch a®>0, weil es das Glied a}, enthält. 
Nach Satz IV gibt es eine Zahl k < n, wofür a) > 0ist. In Art! — AA 
ist dann auch at) > 0, weil es das Glied a) a,, enthält. Ist al>0, 
so ist es auch al#') in At" — AA. Spätestens für k=!=n-1 
sind demnach die 2n-1 Größen 
(k= oo). 
ee (e=1,2,..n) 
er sau von Null verschieden. Folglich ist in A'*' = A’A' jedes Ele- 
ment“) > 0, weil es das Glied a‘ a‘) enthält. Ist aber AP> 0, 
so ist A primitiv. 
