464 Sitzung der physikaliscl H ischen Classe vom 23. Mai 1912. 
Ist umgekehrt A imprimitiv, 'so müssen daher a,,,a,,:':qa,, 
sämtlich verschwinden, oder es muß, was dasselbe ist, ihre Summe 
(1) antaat a —ertnt tn 0 
sein, falls 
(2.) 2 (8). = (s-r) (sr) --- (s-r.-ı) 
gesetzt wird. In jeder Potenz einer imprimitiven Matrix gibt es dem- 
nach verschwindende Elemente. Dies ist selbstverständlich, wenn die 
Matrix A” zerlegbar ist. Ist sie aber unzerlegbar, so ist sie imprimi- 
tiv, weil |r'"| = r” ist, und dann verschwinden alle Hauptelemente. 
XI. Jede Potenz einer primitiven Matrix ist primitiv. Sind umgekehrt 
A,4A?..- A" unzerlegbar, so ist A primitiv. 
‘ Da die Matrix (1.) $ 4 positiv ist, so ist es auch die Matrix BA, 
die eine lineare Verbindung von A, A*--- A" ist. Daher können die 
n Größen 
Ar an: a 
nicht alle verschwinden. Ist a{>0 und ist A imprimitiv, so ist 
A” zerlegbar. Denn wäre A” unzerlegbar, so wäre diese Matrix im- 
primitiv, und es wäre a —0. 
Sind also umgekehrt A, A?,.-- A" unzerlegbar, so muß A pri- 
mitiv sein. 
Der Beweis der ersten Hälfte des Satzes XI sowie der des Sat- 
zes IX, woraus jene sofort folgt, beruht auf den folgenden Überle- 
gungen. 
$7- 
Ist A unzerlegbar, so sind die er A.s(r) alle positiv. Daher 
haben die n linearen Gleichungen 
(1.) Gaılıt FA = TLa («=1,2,.n), 
falls man von einem gemeinsamen Faktor absieht, nur eine Lösung, 
und darin können x,,--- x, alle positiv angenommen werden. Das- 
selbe gilt von den Gleichungen 
(2.) me yıt --- +a,oyn = rya (=1,2,--n). 
Betrachten wir die n Größen y,,--- y, als eine Matrix Y von nur einer 
Zeile. Ebenso sei X die Matrix, worin &,,--- x, in einer Spalte unter- 
einander stehen. Dann ist XY>0 und F>0, und die Gleichungen 
(1.) und (2.) lauten 
(3.) AX 8 , M-ıY 
Sei umgekehrt Z eine Matrix, worin in einer Spalte n Größen 2,,:- 2, 
stehen, die alle nicht negativ, und nicht alle Null sind. Bestehen 
