Frosexivs: Über Matrizen aus nicht negativen Elementen. 465 
dann n Gleichungen AZ = sZ, so muß zunächst p(s) = 0 sein. Fer- 
ner ist 
YAZ = (YA)Z = rYZ = Y(AZ) = sYZ. 
Die Matrix YZ ist vom ersten Grade und besteht aus der Größe 
Yı2ı+°°+9.2„>0. Mithin ist s—=r. Die linearen Gleichungen 
AX = sX oder YA= sY können also nur dann eine Lösung haben, 
deren Elemente alle nicht negativ und nicht alle Null sind, wenn sr 
ist, und dann sind die Unbekannten alle positiv. 
Nun sei A unzerlegbar, aber A” zerlegbar. Nach passender Um- 
stellung der Reihen von A können wir also 
Rıı 0 0 0) 
Ra Ra 0 0 
A" = Ru Ras Ras 0 
Rı Ra Ra Ru 
setzen, wo die Teilmatrizen R,,, AR... --- unzerlegbar sind, und R,; — 0 
ist, falls 8 > a ist. 
Bestimmt man X und Y, wie oben, so ist auch 
AR Hu VAR my 
Sei m, der Grad von R,,, sei X, das System der ersten m, der 
Größen &,,---@,, X, das der folgenden m, usw. Dann ist 
(4.) > RapXg = sX,, > YıRas — ehe, 
wo s=r"ist. Die ersten dieser Gleichungen lauten 
(5.) RıX, = 8X, 
und 
DURSSe SIR hN, 
also weil das erste Glied dieser Summe Y,(R,X,) = sYıX, ist, 
HR HR + HRuÄı + - = 0, 
und da jedes Glied 2 0 ist, Y,R,,.X, = 0. Besteht die Matrix R,, aus 
den Größen c,,, so besteht Y, R,, X, aus der einen Größe DyscHn. 
Da x, und y, positiv sind, so ist ec, = 0, also 
Ry ed HR Red, 
Demnach lauten die zweiten der Gleichungen (4.) 
(6.) Ra 3X, 
und 
IURa= Yu, DYRakı = hä. 
