466 Sitzung der physikalisch h ischen Classe vom 23. Mai 1912. 
Da R,, = 0 ist, so ist das erste Glied dieser Summe Y,R„X, = sY,X,;, 
und mithin ist 
Ba 05 Rs = .0, Ra O,:,., 
allgemein R,; = 0, falls «>% ist. Daher zerfällt 
22020 
te Ri 
0 0 Rz 
vollständig. 
XII. Zerfällt eine Potenz einer unzerlegbaren Matrix, so ist sie voll- 
ständig zerlegbar. 
Ferner zeigen die Gleichungen (5.) und (6.), daß jeder der un- 
zerlegbaren Teile R,, die Wurzel r” hat. 
Da r eine einfache Wurzel von A ist, so ist dies nur möglich, 
wenn A eine von r verschiedene Wurzel r’ besitzt, deren mte Potenz 
r"=r" ist. Folglich ist |r’|= r und A imprimitiv. 
Wenn also A primitiv ist, so ist Jede Potenz von A unzerlegbar, und 
demnach, weil stets r’” < r” ist, primitiv. Ferner gibt es, wie schon 
oben gezeigt, eine Potenz A”, worin a”) >0 ist. Da außerdem A” 
unzerlegbar ist, so ist nach den Überlegungen im Beweise des Satzes X 
eine Potenz von A” positiv. Damit sind die Sätze IX und XI voll- 
ständig bewiesen. Aus der obigen Entwicklung ergibt sich noch das 
Resultat: 
XI. Ist A eine zerfallende Matrix, und haben sowohl die Glei- 
chungen AX—=rX als auch die Gleichungen YA= rY eine positive 
Lösung, so zerfällt A vollständig, und jeder unzerlegbare Teil von A hat 
die Maximalwurzel r. : 
$8. 
Wenn A unzerlegbar ist, so ist nach Satz II die Maximalwurzel 
der Gleichung A,.(s) = 0 q9<r. Ist g’ irgendeine andre Wurzel dieser 
Gleichung, so ist |g’|<g<r. Sei A imprimitiv und seien 
(1.) ern 
alle Wurzeln von A, deren absoluter Betrag gleich r ist. Da |r’|>q 
ist, so ist A,.(r’) von Null verschieden, und da 
Auslr’) Agalr’) = Asalr’) Ass(r’) 
ist, so ist es auch A,.(r’). Mithin haben die n linearen Gleichungen 
AZ == r'Z 
nur eine Lösung, und deren Elemente 2,2, sind alle von Null 
verschieden. Dann ist aber auch 
