Frogextus: Über Matrizen aus nicht negativen Elementen. 467 
A"Z=rnz » 
also 
Rrzy ern zZ Bez en ARE 
Folglich hat jeder der unzerlegbaren Teile R,, die Wurzeln 
(2) ee 
Sind diese nicht alle gleich r”, so ist Jeder Teil R,, imprimitiv, und 
mithin zerfällt eine Potenz von A” in eine größere Anzahl von Teilen 
wie A”, Da die Anzahl der Teile nicht >n sein kann, so muß es 
eine Potenz A” geben, die in lauter primitive Teile zerfällt. Dann 
ist "= r"=r’"=..., und folglich sind 
Br an 
(3.) ie ER 
Wurzeln der Gleichung ?” = 1. 
In jedem unzerlegbaren Teile R,, von A” ist r” die größte posi- 
tive Wurzel, also einfach. Die Anzahl dieser Teile ist demnach gleich 
der Anzahl der Größen (2.), die gleich r” sind. Wählt man m so, 
daß die Einheitswurzeln (3.) alle der Gleichung ?” = 1 genügen, so 
sind die Größen (2.) alle gleich r”, R,, hat keine von r” verschiedene 
Wurzel vom absoluten Betrage r" und ist daher primitiv. 
Der kleinste Exponent k, wofür A* in lauter primitive Teile R,, 
zerfällt, ist folglich gleich dem kleinsten Exponenten k, wofür die 
Größen (3.) alle der Gleichung ?*—= 1 genügen. Ist dann m nicht 
durch % teilbar, so genügen die Größen (3.) nicht alle der Gleichung 
f"=1, sind die Größen (2.) nicht alle gleich r”, ist jeder Teil Rs 
von 4” imprimitiv, sind die Hauptelemente von R,, alle Null. 
Ist also m nicht durch % teilbar, so verschwindet die Summe 
der Hauptelemente von A” 
arte Hr, =0. 
Mithin ist auch c, — 0, wenn 
ls) = "+ site. +e 
ist. Dies folgt aus den Newronschen Formeln 
Sm tCıSm-ı +: +om-ı5ı FMcmn = 0. 
Denn wenn es für €13°** Cm.) schon bewiesen ist, so ist in jedem der 
m ersten Glieder c,s, entweder c, — 0 oder s, = 0, weilx ti —= m 
ist, also x und A nicht beide durch k teilbar sind. Folglich ist auch 
m =0. Demnach ist 
(4.) o(s) = tr +0 t+astr.... 
