468 Sitzung der physikaliscl h ischen Classe vom 23. Mai 1912. 
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Ist also p irgendeine Wurzel der Gleichung £"=1, so ist ! = gr 
eine Wurzel der Gleichung „(s) = 0. Ferner ist 
le) = Ppre/lr), 
und mithin ist r’, ebenso wie r, eine einfache Wurzel. Daher stimmen 
die Größen (3.) mit den k verschiedenen Wurzeln der Gleichung p* — 1 
überein, und ihre Anzahl ist gleich A. 
XIV. Die charakteristische Funktion einer unzerlegbaren Matrix A sei 
o(s) = s"+a’/s” +a” sn” + ..., 
won>n'>n">.:.ist, und a’, a”, :-- von Null verschieden sind. Der 
größte gemeinsame Divisor der Differenzen n-n', n'’—-n”,::- sei k. Ist 
dann k = 1, so ist A primitiv. Ist aber k> 1, so ist A imprimitiv, _A* 
ist die niedrigste Potenz von A, die in lauter primitive Teile (vollständig) 
zerfällt, und die Anzahl dieser Teile ist ebenfalls gleich k. Setzt man 
pls) = s"+as" Hass" +... +ams""%, Ws) = S"+as" tags” 24. + Gm 
so hat die Gleichung V(s) = 0 eine positive Wurzel, die einfach ist und 
absolut größer als jede andere ihrer Wurzeln. 
Der letzte Teil dieses Satzes zeigt am deutlichsten die geringe 
Modifikation, Ark sich die Eigenschaften der positiven Matrizen auf 
während sie für primitive ganz unverändert 
x gültig bleiben. 
Die Zahl n-n’ = h ist die kleinste Zahl, wofür 
die Hauptelemente von 4’ 
oder 
die zyklischen Produkte a,,a;,@a,;:::as. von h Faktoren 
oder 
die Hauptunterdeterminanten hten Grades von A 
nicht sämtlich verschwinden. 
"Für irgendeine nicht negative Matrix ist jede dieser drei Bedin- 
gungen damit äquivalent, daß c, der erste ei verschwindende Ko- 
effizient in y(s)=s"+c,s""!+c,"? +. 
Ist nun A unzerlegbar, so ist A Sei oder imprimitiv, je 
nachdem A* unzerlegbar oder zerlegbar ist. 
Um diese Untersuchungen an einem Beispiel zu erläutern, sei 
$(s) = s’-a, wo a nicht Null ist. Dann ist , =0,,—0,---,,=0, 
aber s, von Null verschieden. Nun ist 
sı ns Gaas 82 =, AapQpar 83 = AsplpyAyar 
Mithin ist jedes: zyklische Produkt von weniger als n Faktoren 
AuBApyAys- Asa = 0, 
