Frogentus: Über Matrizen aus nicht negativen Elementen. 469 
aber nicht jedes von n Faktoren. Durch Umstellung der Reihen kann 
man bewirken, daß 
(4) 012023 434°" An-ı,ndı >0 
ist. Da a, > 0 ist, so ist A, = 0, daa„a,>V ist, so ist a, — (, 
a Ay-2,n-1@n-1n And > 0 ist, SO ist a,,_, — 0. So erkennt man, 
daß alle Elemente von A verschwinden, mit Ausnahme der n Elemente 
des Produkts (4.). Für n = 4 ist also 
0 an 0 0) 
0 0° 204:..0 
= A 
(5 ) 1) 0 0 au 
au 0 07:0 
Ist A irgendeine nicht negative Matrix, und ist wie oben c, der 
erste nicht verschwindende Koeffizient von p(s), so kann jede Haupt- 
unterdeterminante ten Grades von A, die von Null verschieden ist, 
durch Umstellung ihrer Reihen auf die Gestalt (5.) gebracht werden. 
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Jeder der % unzerlegbaren Teile R,, von 4“ ist primitiv. Mithin 
ist R), positiv, sobald / eine gewisse Grenze übersteigt. In einer 
Potenz von A*,. etwa in A’ = P sind folglich die Teile Rr, — ae 
alle positiv. 
Man teile die Matrix A" = M entsprechend in Submatrizen 
Mn. Mıs --- Mur 
Mi Ma, Ma S M:+ 
Mir Mas + Mar 
Ist m, der Grad von R,,, so ist z.B. M,, die Matrix der Elemente 
aus den Zeilen 1,2,--- m, und den Spalten m, +1,--- m, -+m, von 
M. Ist nun m nicht durch % teilbar, so ist es auch m+ kp nicht. 
Folglich verschwinden alle Hauptelemente der Matrix MP, also auch 
von M.sP:.. BD Verso ish > Und. 0, uni), 
a 
und weil v,,>0 ist, u, =0, d.h. M,. —0. 
Ist daher 
Lu La» ER Li 
Ye La ge . i 
Er: Lis + - Zu 
so ist zunächst L,. = 0. ; 
