Frosentus: Über Matrizen aus nicht negativen Elementen. 471 
$ 10. . 
Sind P und Q zwei Matrizen nten Grades, und ist | P| nicht 
Null, so ist 
P-\(PQ)P = QP 
und mithin Ä 
(1.) |sE-PQ| = |sE-QP|. 
Sind die Elemente von P unabhängige Variable, so gilt diese Glei- 
chung für alle Werte der Veränderlichen, für die | P| von Null ver- 
schieden ist, und daher gilt sie identisch. (Die beiden Determinanten 
(1.) brauchen aber nicht in den Elementarteilern übereinzustimmen.) 
Ist P eine Matrix von m Zeilen und n Spalten, Q eine Matrix 
von n Zeilen und m Spalten, so hat PQ den Grad m, QP den Grad n. 
Seien p(s) und ‘/(s) ihre charakteristischen Funktionen. Ist etwa 
m<.n, so füge man zu den m Zeilen von P noch n-m Zeilen von 
je n verschwindenden Elementen und zu den m Spalten von Q noch 
r— m solche Spalten. Gehen so P und Q in P, und Q, über, so ist 
QP,= QP, während P,Q, aus PQ durch Hinzufügung von n - m Zei- 
len und Spalten verschwindender Elemente entsteht. Daher ist 
v(s) = |sE-QP| = |sE-Q PB | = |sE-BQ,| = s"-" (5). 
Setzt man 
ss Lu Wu), Las Inr.ırs ur Ein = Q, 
so ist 
Bin RO; Ru= QP. 
Ist p,(s) die charakteristische Funktion von R,,, und ist m, die kleinste 
der Zahlen m,, m,, --- m,, so ist 
9) = s""ro,(s), 
oder wenn man m, = m und 9,(s) = V(s) setzt, 
Al) = mm ya), 6-74) e-rh) (en )= I] RO = ur. 
Von den n Wurzeln r, r,,--- r„_, der Gleichung $(s) = 0 verschwin- 
den also mindestens n- mk. Ist 
(8) = sr +a,sn-ir Ayst eh... +amsmımk — gn-mk(gk_pk) (#7) ..- (#-r:_,), 
so ist die Funktion, deren Wurzeln die kten Potenzen der Wurzeln 
von $»(s) sind, 
sak(g—rt)k(s—rt)t ... (ri .)*. 
Folglich ist 
ve) = (=) ort) (rt, 
oder 
Sitzungsberichte 1912. : 42 
