472 Sitzung der physikalisch 1 ischen Classe vom 23. Mai 1912. 
(2.) Yls) = s" +a1s"! Hass"? +... + Am, 
und allgemein ist 
(3.) Prls) = S"a + a,sMaiHags"ma-2 +... + amsmaım, 
$ ıı. 
Aus den Eigenschaften der unzerlegbaren Matrizen lassen sich 
analoge Eigenschaften der zerlegbaren herleiten. So gilt der Satz: 
XV. Ist r die Maximalhwurzel einer nicht negativen Matrix, so sind 
die Wurzeln von A, die absolut gleich r sind, die sämtlichen Wurzeln einer 
Gleichung der Form 
(rt) (s!-r}) (s"-r®)... = 0. 
Genügt also der charakteristischen Gleichung p(s) = 0 eine Größe 
pr, die der Maximalwurzel, r absolut gleich ist, so ist p eine Einheits- 
wurzel; der Gleichung p(s) — 0 genügt dann auch das Produkt aus 
r und jeder Potenz von p. i 
Anknüpfend an den Anfang des $7 will ich jetzt auch für eine 
zerlegbare Matrix A untersuchen, unter welchen Bedingungen die n 
linearen Gleichungen AX = sX eine Lösung haben, worin &,,---x, 
alle =0, aber nicht alle — 0 sind. Ich schreibe diese Gleichungen 
in der Form 
ZuXı = sX,, 
LnXı+LaX; =sA,, 
(1.) LaXı +L2»X2+LaX; na, 
Lnı Xı + Ina Xy+ Ina Xy + + + Imm An = 8 Äme 
Sei r, die Maximalwurzel der legb Matrix L,,. Ist dann s 
keiner der Größen r,,r,,---r, gleich, so ist nach der ersten Glei- 
chung X, = 0, dann nach der zweiten X =0, usw 
Ferner ist bei einer nicht negativen Lösung X immer entweder 
X,=0 oder X,>0, d.h. von den Unbekannten, die das Teilsystem 
X, bilden, können nicht einige = 0, andere > 0 sein. Denn ist s>r,, 
so ist 
@B.- 0,30 
eine positive Matrix und 
(2), 2 EP) nee +0. ,.RX 0) DZ, 
wo Z=0 ist. X, besteht also aus den Größen > P.a2p- Da stets 
P«s >) ist, so ist X,>0, außer wenn Z= 0 ist. Dann ist DER 
Ist aber s<r,, so sei Y, eine positive Lösung der Gleichung - 
lu ernE. 
