Frosenius: Über Matrizen aus nicht negativen Elementen. 473 
Dann ist 
(3.) Y(LaXı+ A + Lan-ı Zu + (rss) X,) ='0, 
also da Y,>0 ist und jeder Summand > 0 ist, 
(4.) VB — 0, as »-ı = (0, (r„-s) X, =:05 
mithin 
(5.) X, = 0, wenn s<r, 
ist. Ist aber s=r,, so folgt aus (4.) und der xten Gleichung (1.) 
L.X,=r,X,, und daher ist entweder X, — 0 oder >00: 
Sollen nun die Gleichungen (1.) eine nicht negative Lösung haben, 
so muß eine der Wurzeln 7,,r,,---r, gleich s sein. Sind es mehrere, 
so bezeichne ich im folgenden stets mit r, die, deren Index A am 
größten ist. Wenn dann 
(6.) n>n4n Nr>nram N D>Tm 
ist, so haben die Gleichungen (1.) eine nicht negative Lösung. (Ist 
A = m, so fallen die Bedingungen (6.) weg.) Denn man setze X, — 0, 
X, ,=0 und wähle für X, die positive Lösung der Gleichung 
L,X,=r,X,. Dann ergibt sich aus der (A+ l)ten Gleichung (1.), 
weil s>r,,, ist, nach (2.) eine ganz bestimmte Matrix X,,,, die 
>0 oder = 0 ist, aus der (A + 2)ten X,,, usw. 
Es ist möglich, daß die Gleichungen (1.) auch bei anderer An- 
ordnung der Gleichungen und der Unbekannten X,,X,, --- X,, dieselbe 
Gestalt haben, falls nämlich einige der Matrizen L.; («> £) Null sind. 
Dann genügt es, wenn die Bedingungen (6.) für irgendeine der mög- 
lichen Anordnungen erfüllt sind. 
Wenn sie aber für keine erfüllt sind, so haben die Gleichungen 
AX=sX, wie ich jetzt zeigen will, keine Lösung der betrachteten 
Art. Denn von den Matrizen X,,X,,:-- X, muß mindestens eine ver- 
schwinden. Sonst folgt aus der ersten Gleichung (1.) s=r, und aus 
(5.) s2r,,---s2r,, und demnach sind die Bedingungen (6.) (späte- 
stens für A—= m) erfüllt. 
Ist nun zunächst X, = 0, so lauten die Gleichungen (1.) 
LaXs ui 
(7-) LaX+tlaX =sX, 
Ist ?=1, so ist keine der Größen r,,r,,---r,„ gleich s, und 
folglich it X, — 0, X,=0, ---X,=0. IstaberA>1, so sind bei 
keiner der möglichen Anordnungen der Gleichungen (7.) die Bedin- 
gungen (6.) erfüllt. Da ihre Matrix nur aus m-1 Teilen besteht, so 
können wir für diese Gleichungen die behauptete Umkehrung schon 
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