474 Sitzung der physikalisch h ischen Classe vom 23. Mai 1912. 
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als bewiesen voraussetzen, und schließen, daß X, = X, =: -=X,=0 
sein muß. x 
Wäre aber X,>0,---X, ,>0 und zuerst X,=(0, so wäre 
LxıXı eE La: re Dem =I, 
also, da kein Summand negativ, ist 
Lai \ı =l, Las 9 NER Zus at. —.0, 
und mithin 
ende. 
Folglich kann man durch zyklische Vertauschung der ersten x Glei- 
chungen und Unbekannten die xte Gleichung 
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an die erste Stelle bringen, ohne daß die Gleichungen ihre Form 
ändern. Bei dieser Anordnung ist dann X, das erste Teilsystem von 
X, und X, —= 0, und folglich verschwinden auch, wie oben gezeigt, 
alle andern Teilsysteme. 
Ist s die größte der Wurzeln r,,r,,---r„, so sind die Bedin- 
gungen (6.) immer erfüllt. Daß dann die Gleichungen (1.) eine nicht 
negative Lösung haben, ist schon im $ ı gezeigt worden. 
$i12. 
Daß eine ‘Zerlegung einer Matrix A in unzerlegbare Teile nur 
in einer Weise möglich ist, kann man auf folgende Art einsehen. 
Jeder Teil von A ist durch die Hauptelemente (nicht ihre Werte, 
sondern ihre Indizes), die er enthält, vollständig bestimmt. Seien in 
zwei Zerlegungen Q und R zwei unzerlegbare Teile von A, die ein 
Hauptelement gemeinsam haben. Es möge B ein unmittelbarer Teil 
von A heißen, wenn alle Elemente von A verschwinden, welche die 
Zeilen (oder Spalten) von B um die komplementären Spalten (oder 
Zeilen) enthalten. (Ein solcher ist z.B. in der Matrix (1) $2 P und 
Q, aber nicht R.) Der zu B komplementäre Teil ist dann auch ein 
unmittelbarer. 
Sei B ein solcher Teil, der Q enthält, C einer, der R enthält, 
dann können wir annehmen, daß die Zeilen (und Spalten) von B und 
€ zusammen alle n Zeilen sind. Denn sonst sind B und C als un- 
mittelbare Teile in einer Matrix enthalten, deren Grad kleiner als n 
ist, und für die wir es schon als erwiesen ansehen können, daß die 
unzerlegbaren Teile Q und R gleich sind, wenn sie ein Diagonal- 
element gemeinsam haben. 
Es sind nun zwei (eigentlich vier) Fälle zu unterscheiden: 
