Frogexius: Über Matrizen aus nicht negativen Elementen. 475 
Erstens 
Air Ba: Chr ei Re a 2 
A: and Bi le u PP BE RR 
A; B; GC; 
A, enthält alle Hauptelemente, die B und C gemeinsam haben. B ist 
ein unmittelbarer Teil von A, weil die Elemente von A, und B, ver- 
schwinden, welche die Spalten von B mit den komplementären Zeilen 
gemeinsam haben, Ü' ist es, weil die Elemente von A, und (, ver- 
schwinden, welche die Spalten von C mit den komplementären Zeilen 
gemeinsam haben. Weil A, =0 ist, ist A, ein Teil von B; weil 
A,=0 ist, ist A, ein Teil von C. Für die Matrizen B und C ist 
die Behauptung schon erwiesen. Q und R haben ein Hauptelement 
gemeinsam, also auch B und C. Dies kommt demnach in A, vor. 
Folglich ist 'Q ein Teil von A,, ebenso R, und mithin ist Q = R. 
Zweitens 
Arer08,i6h en a 
AsetiAs-Bs 0% Bee ir. 20 [0784 
1) 0 G, 
Hier verschwinden die Elemente von A, und B,, welche die Spalten 
von B mit den komplementären Zeilen gemeinsam haben und die Ele- 
mente von B, und B,, welche die Zeilen von C mit den komplemen- 
tären Spalten gemeinsam haben. Der Beweis ist derselbe. 
Ein anderer Beweis desselben Satzes ist mehr algebraischer Natur. 
Die Zerlegbarkeit einer Matrix beruht darauf, daß gewisse Elemente 
außerhalb der Diagonale verschwinden, bleibt also ungeändert, wenn 
die nicht verschwindenden Elemente und alle Hauptelemente durch 
unabhängige Variable x,, ersetzt werden. Dadurch gehe die Deter- 
minante | A| in X über, eine ganze Funktion der unabhängigen Va- 
riabeln, die nicht verschwindet, weil sie das Glied @ 03 x,, ent- 
hält. Läßt sich X = PQ in zwei Faktoren zerlegen, die ganze Funk- 
tionen des Variabeln sind, so nenne ich X reduzibel. 
XI. Ist die nicht negative Matrix A unzerlegbar, so ist die ganze 
Funktion X irreduzibel. 
In X= PQ kommt die Variable x.. wirklich vor, und X ist 
eine lineare Funktion von x,.. Daher kann «,. nur in einem der 
beiden Faktoren P oder Q vorkommen. Es mögen x, &,n in P, 
x,,in Q vorkommen. In bezug auf diejenigen der Größen 
X, @aas*"&,,, die nicht Null sind, ist X eine homogene lineare 
Funktion. Daher kommen sie alle in demselben Faktor vor, der durch 
%,. bestimmt ist, in P, wenn «<m, in Q, wenn «> m ist. Das- 
selbe gilt von a we Ich nenne die Indizes «, 8 ungleich- 
m+l,m+ı"*" 
