476 Sitzung der physikaliscl t ischen Classe vom 23. Mai 1912. 
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artig, wenn einer <m, der andere > m ist, aber gleichartig, wenn 
beide < m oder beide > m sind. Sind « und $ ungleichartig, so kommt 
demnach x,, weder in P noch in Q vor, also auch nicht in X — PQ. 
Daraus folgt beiläufig, daß Oo <m<n ist. 
Daher ist &,5%;. = 0. Denn sind £,0,r,--- die n-2 übrigen 
Indizes, so würde, wenn w,; a Opa _ nicht Null sind, in X das 
ir Tan. . i ist, wenn er 
-$ nicht alle gl a sind, das ea Produkt @,.;%; 
Ds aM 
Ein solches Produkt bleibt bei zyklischer Vertauschung der Indizes 
ungeändert. Unter der gemachten Voraussetzung müssen von den In- 
dizes #,8,y,:--$ zwei aufeinanderfolgende ungleichartig sein. Sind 
die Indizes nicht alle ee und ist <= £, so ist das Produkt 
gleich &..(8:,%,5°* %s5), ist = y, gleich (x, pa) (By sy). 
In diesem Falle wäre nur die analoge Behauptung für ein aa 
Produkt von weniger Faktoren zu beweisen, deren Indizes alle ver- 
schieden und nicht alle gleichartig sind. Wir können daher annehmen, 
daß alle Indizes verschieden sind, und daß « und $ ungleichartig sind. 
Seien dann a, ß,---3,7,0,7,--- die n verschiedenen Indizes. 
Wären x,;, %g,5 °°" %s„ Alle von Null verschieden, so würde X das 
Glied @,,05,:- "05.8,,%,,%,,.: enthalten, also die Variable x_;, deren 
Indizes ungleichartig sind. 
Sind « und © ungleichartig, so ist Goglpukun = 0, also auch 
2.2, X... = 0 oder ©,;.2$), — 0, allgemeiner u sl 
= 
also auch ($, Tantng) (DS Tatıud,) = 0, oder 2, xQ), — 0, über- 
” Im 
haupt 
a0, 
daher sind entweder die Größen 
Kup 2, zu a u 
sämtlich Null oder die Größen 
Bau af, af, --- ah. 
Legt man den Variabeln positive Werte bei, so folgt daraus nach Satz IV, 
daß A, also auch X zerlegbar ist. 
Wenn nun A in die unzerlegbaren Matrizen A,, A, A, --- zer- 
fällt, so zerfällt X entsprechend in die Determinanten KA 
und diese sind irreduzibel, und jede von ihnen kann et die in 
